2018-2019高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 第2课时 二倍角的三角函数的应用学案 苏教版必修4.doc

第2课时二倍角的三角函数的应用学习目标1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换知识点降幂公式思考如何用cos表示sin2，cos2？答案cos2cos2112sin2，sin2，cos2.梳理降幂公式(1)sin2.(2)cos2.(3)tan2.类型一化简求值例1(1)化简cos2(15)cos2(15)cos2；(2)已知，化简：.解(1)cos2(15)cos2(15)cos2cos21cos(230)cos(230)cos21(cos2cos30sin2sin30cos2cos30sin2sin30)cos212cos2cos30cos21cos2cos21.(2)，原式cos.跟踪训练1(1)化简sin2(15)sin2(15)cos2；(2)求证：tan2x.(1)解原式cos21cos(230)cos(230)cos21(2cos2cos30)cos21cos2cos21.(2)证明左边右边，等式成立类型二与三角函数性质有关的问题例2已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k(kZ)，即xk (kZ)，所求x的集合为.反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障跟踪训练2已知函数f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)cos2xsin2xcos2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，f，f，f.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为.类型三三角函数在实际问题中的应用例3点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT1，PAB，问为何值时，四边形ABTP面积最大？解如图所示，AB为直径，APB90，AB1，PAcos，PBsin.又PT切圆于P点，TPBPAB，作BCPT于点C.S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTBCPAPBPTPBsinsincossin2sin2(1cos2)(sin2cos2)sin.0，2，当2，即时，S四边形ABTP最大反思与感悟利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围跟踪训练3如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积解在直角三角形OBC中，OBcos，BCsin.在直角三角形OAD中，tan.OADABCsin，ABOBOAcossin.设矩形ABCD的面积为S，则SABBCsinsincossin2sin2(1cos2)sin2cos2sin.0，20，tan3，求tan的值解tan3，3，即3tan22tan30，tan或tan.cos0，为第三象限角，为第四象限角，tan0，tan.12已知函数f(x)2cosxsinx2cos2x.(1)求f的值；(2)当x时，求函数f(x)的值域解(1)因为f(x)sin2x2cos2xsin2xcos2x12sin1，所以f2sin12sin12sin12sin12.(2)由(1)得f(x)2sin1，因为x，所以2x，所以sin1，所以02sin13，即f(x)的值域是0,313已知函数f(x)coscos，g(x)sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合解(1)f(x)cos2xsin2xcos2x，f(x)的最小正周期为T.(2)h(x)f(x)g(x)cos2xsin2xcos，当2x2k(kZ)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为.