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专题02 矢量的运算模型模型界定矢量及矢量运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等狭义的讲，矢量的运算是指矢量物理量之间的运算，广义的说，矢量运算还包括运动形式的分解与合成适量运算要遵循特殊的法则。本模型归纳总结高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(减)法与乘法的运算.模型破解1. 矢量加法(i)平行四边形定则矢量的加法运算也即矢量的合成,其实质是等效替代,一般可用平行四边形法则。如果用表示两个矢量A1和A2的有向线段为邻边作平行四边形，那么合矢量A的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示，这叫做矢量运算的平行四边形定则.(ii)三角形法则与多边形定则如图所示，两矢量合成时由平行四边形法则可推广至三角形法则：将两矢量首尾相接，则合矢量就是由矢量的箭尾指向矢量箭首的有向线段所表示的矢量多个矢量相加时，则三角形定则推广可得到多边形法则，如图所示最终合矢量的大小和方向与相加次序无关。（iii)正交分解法将矢量沿两个相互垂直的方向分解，称为正交分解矢量A1、A2、A3相加时，可先将各矢量沿相互垂直的x轴和y轴分解，A1分解为A1x和A1y，A2分解为A2x和A2y，A3分解为A3x和A3y，则x轴方向上的矢量和Ax=A1x+A2x+A3x+；y轴方向上的适量和Ay=A1y+A2y+A3y+,则合矢量大小，合矢量方向与x轴夹角满足(iv)矢量减法矢量减法是矢量加法的逆运算，也称为矢量的分解一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量，A-A2=A1+(-A2)，如图所示。矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量。因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。(v)基本规律当两矢量A1和A2大小一定时，合矢量A随着两矢量间夹角的增大而减小。当两矢量间的夹角0时，合矢量最大，等于Amxa=A1+A2；当两矢量间的夹角180时，合矢量最小，等于Amin=A1-A2，即合矢量的取值范围是A1-A2A1+A2。合矢量可以大于、等于或小于分矢量，他的大小依赖于两矢量之间的夹角的大小：大小相等的两矢量，当其夹角小于1200时，合矢量大于分矢量；夹角等于1200时合矢量与分矢量相等；夹角大于1200而小于1800时，合矢量小于分矢量有n个矢量A1、A2、A3、An，他们矢量和大小的最大值是它们的方向相同时的合矢量大小，即，而最小值要分下列两种情况讨论：若n个矢量A1、A2、A3、An中的大小最大的矢量Aj大于其余矢量的大小之和，则他们矢量和的最小值是Aj。若n个矢量A1、A2、A3、An中的大小最大的矢量Aj不大于其余矢量的大小之和，则他们矢量和的最小值是。两矢量大小相等时，合矢量的方向必在两矢量的夹角平分在线例.两个大小分别为和（）的力作用在同一质点上，它们的合力的大小F满足A BC D 【答案】C【解析】共点的两个力合成，同向时最大为，反向时最小为，正确例.如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止P点。设滑块所受支持力为FN。OF与水平方向的夹角为0。下列关系正确的是（ ）ABFmgtan0CDFN=mgtan0【答案】A【解析】对小滑块受力分析如图所示，根据平行四边形定则可得，所以A正确。例.如图，两根相互平行的长直导线分别通有方向相反的电流和，且；a、b、c、d为导线某一横截面所在平面内的四点，且a、b、c与两导线共面；b点在两导线之间，b、d的连线与导线所在平面垂直。磁感应强度可能为零的点是Aa点 Bb点 Cc点 Dd点 【答案】C例如图，两等量异号的点电荷相距为。M与两点电荷共线，N位于两点电荷连线的中垂线上，两点电荷连线中点到M和N的距离都为L，且。略去项的贡献，则两点电荷的合电场在M和N点的强度（ ）A大小之比为2，方向相反B大小之比为1，方向相反C大小均与成正比，方向相反D大小均与L的平方成反比，方向相互垂直【答案】AC【解析】如右下图所示，合电场在M和N点的强度分别为、，故有E1：E22；又因N点处强场方向由对称性知平行于两场源电荷由q指向q，在M点因距q较近，-q产生的电场弱于q产生的电场,总场强方向由q指向q，正确。例5.在一个水平方向的匀强电场中，某带负电荷的小球做匀变速曲线运动，依次经过A、B、C 三点，A、B、C三点与电场方向在同一个竖直面内，运动轨迹如图所示已知过B点切线与AC连线平行，D点为AC线段的中点，BD连线恰与AC垂直，质点从A点运动到B点所用的时间为tAB，质点从B点运动到C点所用的时间为tBC。下列说法正确的是AtAB一定等于tBC，电场方向向左BtAB一定等于tBC，电场方向向右CtAB不一定等于tBC，电场方向向左DtAB不一定等于tBC，电场方向向右【答案】B模型演练.如图，三个大小相等的力F，作用于同一点O，则合力最小的是FFFOAFFFOBDFFFO60CFFFO120120120【答案】C【解析】在ABD三图中三力的合力大小虽不相同，但一定不为零，而在C图其中任两个力的合力与第三个力等值反向，三个力的合力一定为零，答案为C.在等边三角形的三个顶点a、b、c处，各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相等的恒定电流，方向如图。过c点的导线所受安培力的方向 A.与ab边平行，竖直向上 B.与ab边平行，竖直向下 C.与ab边垂直，指向左边 D.与ab边垂直，指向右边【答案】C【解析】等边三角形的三个顶点a、b、c处均有一通电导线，且导线中通有大小相等的恒定电流由安培定则可得：导线a、b的电流在c处的合磁场方向竖直向下再由左手定则可得：安培力的方向是与ab边垂直，指向左边.四根相互平行的通电长直导线a、b、c电流均为I，如图所示放在正方形的四个顶点上，每根通电直导线单独存在时，四边形中心O点的磁感应强度都是B，则四根通电导线同时存在时O点的磁感应强度的大小和方向为IadObcIII练图A.，方向向左 B. ，方向向下 C. ，方向向右 D. ，方向向上【答案】A4.三根相互平行的通电长直导线放在等边三角形的三个顶点上，右图为其截面图，电流方向如图所示。若每根导线的电流均为I，每根直导线单独存在时，在三角形中心O点产生的磁感应强度大小都是B，则三根导线同时存在时O点的磁感应强度大小为A0BBC2BDB【答案】C【解析】根据安培定则判断得知：三根导线在O点产生的磁感应强度的方向分别为：上面导线产生的B方向水平向左，大小为B；下面左边导线产生的B方向斜向左上方，与水平成60角，下面右边导线产生的B方向斜向右上方，与水平成60角，则根据平行四边形定则进行合成可知，下面两根导线产生的合场强大小为B，方向水平向左，所以三根导线同时存在时的磁感应强度大小为2B，方向水平向左5.取两个完全相同的长导线，用其中一根绕成如图（a）所示的螺线管，当该螺线管中通以电流强度为I的电流时，测得螺线管内中部的磁感应强度大小为B，若将另一根长导线对折后绕成如图（b）所示的螺线管，并通以电流强度也为I的电流时，则在螺线管内中部的磁感应强度大小为（）（A）0。（B）0.5B。（C）B。（D）2 B。【答案】A2.矢量的乘法。矢量乘法运算中包括三种情况：一种是矢量和标量的乘积，其结果仍为矢量，如F=ma、F=qE等。此类运算中，若该标量大于零，则结果与原矢量同向，小于零时则与原矢量反向第二种情况是矢量和矢量相乘，结果构成了新的标量，矢量间这样的乘积叫标积两矢量的标积等于两矢量的大小及两矢量间夹角余弦三者的乘积，如功W=FScos、功率P=Fvcos等的计算是采用两个矢量的标积。第三种情况是矢量和矢量相乘结果却构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。两矢量的矢积大小等于两矢量的大小及两矢量间夹角正弦三者的乘积，如洛仑兹力f=qvBsin等的计算是采用两个矢量的矢积。新矢量的方向与原两矢量所决定的平面垂直例5.一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能A一直增大B先逐渐减小至零，再逐渐增大C先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大【答案】ABD另解：从运动的合成与分解角度考虑，仍设恒力与速度间夹角为，若，质点做匀加速直线运动，速率增大动能增加，若，质点做匀变速曲线运动，沿恒力方向加速运动，垂直于合力方向匀速运动，速率一直增大，动能一直增加；若，质点也做匀变速曲线运动，沿恒力方向质点先减速再反向加速，垂直于恒力方向质点匀速运动，此情况下质点的速率先减小再增大，动能也是先减小再增大，但其最小值不为零；若，质点先做匀减速直线运动，速度减小零后再反向加速，其动能也先减小到零再增加，故ABD正确例6长螺线管中通有恒定电流，把一个带电粒子沿轴线方向射入螺线管，不计重力，粒子在管中将做：A圆周运动 B沿轴线来回运动 C匀加速直线运动 D匀速直线运动【答案】D【解析】在螺线管内磁感线的方向平行于其轴线，则带电粒子进入管内后速度方向与磁场方向平行，在中，故粒子不受力，沿轴线做匀速直线运动，正确模型演练6. 运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程。将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是A阻力对系统始终做负功B系统受到的合外力始终向下C重力做功使系统的重力势能增加D任意相等的时间内重力做的功相等【答案】A【解析】阻力的方向始终与人的运动的方向相反，所以阻力对系统始终做负功，故A正确运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，在减速下降的过程中，由牛顿第二定律可知，此时合力的方向是向上的，所以B错误在下降的过程中重力做正功，由能的转化和可知此时物体的重力势能减小，所以C错误由重力做的功W=mgh可知，由于人不是匀速运动的，在相等的时间内下降的高度不同，所以任意相等的时间内重力做的功不相等，故D错误7. 一个25kg的小孩从高度为3.0m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0ms。取g10ms2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是A合外力做功50J B阻力做功500JC重力做功500JD支持力做功50J【答案】A8. 如图所示，重球m用一条不可伸长的轻质细线拴住后悬于O点，重球置于一个斜面劈M上，用水平力F向左推动斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲匀速向左移动到位置乙，在此过程中，正确的说法是（ ）AM、m间的摩擦力对m不做功BM、m间的摩擦力对m做负功CF对M所做的功与m对M所做的功的绝对值相等DM、m间的弹力对m所做的功与对M做的功的绝对值不相等【答案】C
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