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第1讲 用导数研究函数的基本问题A组小题提速练一、选择题1(2018石家庄模拟)已知函数f(x)，则f(f(x)2的解集为()A(1ln 2，)B(，1ln 2)C(1ln 2,1)D(1,1ln 2)解析：因为当x1时，f(x)x3x2，当x1时，f(x)2ex12，所以f(f(x)2等价于f(x)1，即2ex11，解得x1ln 2，所以f(f(x)0时是减函数，所以函数的图象如图所示，根据图象可知，函数y的定义域可能为3,0，3,1，3,2，3,3，2,3，1，3，0,3，共7种，所以满足条件的整数对(a，b)共有7个故选B.答案：B3已知函数f(x)的图象关于原点对称，g(x)ln(ex1)bx是偶函数，则logab()A1 B1C D.解析：由题意得f(0)0，a2.g(1)g(1)，ln(e1)bln(1)b，b，log2 1.故选B.答案：B4对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：()对任意的x0,1，恒有f(x)0；()当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则下列3个函数中不是M函数的个数是()f(x)x2f(x)x21f(x)2x1A0 B1C2 D3解析：在0,1上，3个函数都满足f(x)0.当x10，x20，x1x21时：对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2(xx)2x1x20，满足；对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)21(x1)(x1)2x1x210，不满足；对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(2x1x21)(2x112x21)2x12x22x12x21(2x11)(2x21)0，满足故选B.答案：B5(2018哈尔滨四校联考)已知函数f(x)如果对任意的nN*，定义fn(x)，那么f2 016(2)的值为()A0 B1C2 D3解析：f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，f4(2)f(2)1，fn(2)的值具有周期性，且周期为3，f2 016(2)f3672(2)f3(2)2，故选C.答案：C6函数f(x)2|log2x|的图象为()解析：由题设条件，当x1时，f(x)2log2x；当0x0恒成立设af(4)，bf(1)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCbca Dcb0，故函数f(x)在(0，)上单调递增，故f(4)f(4)f(3)f(1)，即acb，故选C.答案：C8(2018西安模拟)对于函数yf(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y375961824数列xn满足：x11，且对于任意nN*，点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，则x1x2x2 017()A7 554 B7 540C7 561 D7 564解析：数列xn满足x11，且对任意nN*，点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，xn1f(xn)，由图表可得x2f(x1)3，x3f(x2)5，x4f(x3)6，x5f(x4)1，数列xn是周期为4的周期数列，x1x2x2 017504(x1x2x3x4)x15041517 561.故选C.答案：C9已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)0，f(1)0，则f(1)f(0)0)关于直线yx对称，且f(2)2f(1)，则a()A0 B.C. D1解析：依题意得，曲线yf(x)即为x(y)2a(其中y0，即y0，注意到点(x0，y0)关于直线yx的对称点是点(y0，x0)，化简后得y，即f(x)，于是有2，由此解得a，选C.答案：C11已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，那么实数a的取值范围是()A2,1 B5,0C5,1 D2,0解析：因为f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，所以f(ax1)f(x2)在x上恒成立，即|ax1|x2|，即x2ax12x.由ax12x，得ax1x，a1，而1在x1时取得最小值0，故a0.同理，由x2ax1，得a2，所以a的取值范围是2,0答案：D12(2017高考天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCbac Dbca解析：依题意ag(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1)因为f(x)在R上是增函数，可设0x1x2，则f(x1)f(x2)从而x1f(x1)x2f(x2)，即g(x1)g(x2)所以g(x)在(0，)上亦为增函数又log25.10,20.80,30，且log25.1log283,20.8213，而20.821log24log25.1，所以3log25.120.80，所以cab.故选C.答案：C二、填空题13若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.解析：f(x)ln(e3x1)axlnaxln(1e3x)3xax，依题意得，对任意xR，都有f(x)f(x)，即ln(1e3x)3xaxln(1e3x)ax，化简得2ax3x0(xR)，因此2a30，解得a.答案：14(2017高考山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.解析：f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.答案：615已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：要使函数f(x)在R上单调递增，则有即所以解得20时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解析：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.2已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解析：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.3(2018山东潍坊模拟)已知函数f(x)bln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx.(1)求函数f(x)的单调区间及极值；(2)若x1，f(x)kx恒成立，求k的取值范围解析：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)，故f(1)ba1，又f(1)a，点(1，a)在直线yx上，a1，则b2.f(x)2ln x且f(x)，当0x时，f(x)时，f(x)0.故函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为，f(x)极小值f22ln 2，无极大值(2)由题意知，k(x1)恒成立，令g(x)(x1)，则g(x)(x1)，令h(x)xxln x1(x1)，则h(x)ln x(x1)，当x1时，h(x)0，h(x)在1，)上为减函数，故h(x)h(1)0，故g(x)0，g(x)在1，)上为减函数，故g(x)的最大值为g(1)1，k1.4(2018皖南八校联考)已知函数f(x)ax2xln x.(1)若a1，求函数f(x)的图象在(e，f(e)处的切线方程；(2)若ae，证明：方程2|f(x)|3x2ln x无解解析：(1)依题意，知f(e)e2e，f(x)2xln x1，故f(e)2e2，故所求切线方程为ye2e(2e2)(xe)，即(2e2)xye2e0.(2)证明：依题意，有2|ax2xln x|3x2ln x，即2|ax2xln x|2ln x3x，亦即|axln x|.令g(x)axln x，当ae时，g(x)exln x，则g(x)，令g(x)0，得x，令g(x)0，得x，所以函数g(x)在上单调递增，令g(x)0，得x(0，e)，所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，令h(x)0，得x(e，)，所以函数h(x)在(e，)上单调增减，所以h(x)maxh(e)2，即h(x)h(x)，即2|f(x)|3x2ln x，所以方程2|f(x)|3x2ln x无解5(2018福建四地六校联考)已知函数f(x)x3x22x5.(1)求函数f(x)的图象在点(3，f(3)处的切线方程；(2)若曲线yf(x)与y2xm有三个不同的交点，求实数m的取值范围解析：(1)f(x)x3x22x5，f(x)x23x2.易求得f(3)2，f(3).f(x)的图象在(3，f(3)处的切线方程是y2(x3)，即4x2y10.(2)令f(x)2xm，即x3x22x52xm，得x3x25m，设g(x)x3x25，曲线yf(x)与直线y2xm有三个不同的交点，曲线yg(x)与直线ym有三个不同的交点，易得g(x)x23x，令g(x)0，解得x0或x3，当x3时，g(x)0，当0x3时，g(x)0，g(x)在(，0)，(3，)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g(0)5，g(3)，即g(x)极大值5，g(x)极小值，可画出如图所示的函数g(x)的大致图象实数m的取值范围为m5.
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