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2.3.2双曲线的几何性质学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别(易混点)自 主 预 习探 新 知教材整理1双曲线的简单几何性质阅读教材P43P46例1以上部分，完成下列问题标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形()(2)在双曲线中，实轴长，虚轴长分别为a，b.()(3)双曲线的渐近线方程为yx.()(4)离心率e越大，其渐近线斜率的绝对值越大()(5)在双曲线y21中，x的取值范围是(，22，)()解析(1)正确(2)错误因为实轴长为2a，虚轴长为2b.(3)错误当焦点在y轴上时，渐近线是yx.(4)错误e，e越大，只能说明的绝对值越大(5)正确答案(1)(2)(3)(4)(5)教材整理2等轴双曲线阅读教材P45倒数第八行以上内容，完成下列问题1实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线2性质：(1)等轴双曲线的离心率e；(2)等轴双曲线的渐近线方程为yx，它们互相垂直填空：(1)双曲线x2y22的渐近线为_(2)过点(2,3)的等轴双曲线方程为_(3)等轴双曲线x2y24的焦点坐标为_解析(1)x2y22为等轴双曲线，则渐近线方程为yx，即xy0.(2)设等轴双曲线方程为x2y2(0)，把(2,3)代入可得22325，方程为x2y25，即1.(3)方程可化为1，c2，焦点为(2，0)答案(1)xy0(2)1(3)(2，0)合 作 探 究攻 重 难由双曲线的方程求其几何性质求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图. 【导学号：71392081】精彩点拨本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴自主解答将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程为yxx.作草图，如图所示：名师指津用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为：(1)将双曲线方程化为标准方程形式；(2)判断焦点的位置；(3)写出a2与b2的值；(4)写出双曲线的几何性质.再练一题1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率解将方程x23y2120化为标准方程为1，a24，b212，a2，b2，c4，双曲线的实轴长2a4，虚轴长2b4，焦点坐标为F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，2)，A2(0,2)，渐近线方程为yx，离心率e2.求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为yx；(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)精彩点拨利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解自主解答(1)设以直线yx为渐近线的双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26.当0，b0)，则. A(2，3)在双曲线上，1. 由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1. 由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.求双曲线的离心率及其取值范围(1)设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_. 【导学号：71392082】(2)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围精彩点拨(1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有tan 60.自主解答(1)由题意2cABBC，AC22csin 602c，由双曲线的定义，有2aACBC2c2ca(1)c，e.答案(2)因为双曲线渐近线的斜率为k，直线的斜率为ktan 60，故有，所以e2，所以所求离心率的取值范围是2，)名师指津1求双曲线的离心率就是求a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a，b，c三者中两者的关系，进而利用c2a2b2进行转化2求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成(2)通过判别式0来构造(3)利用点在双曲线内部形成不等关系(4)利用解析式的特征，如ca，或cb.再练一题3已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率解设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.由PF2QF2，PF2Q90，知PF1F1F2，2c，b22ac，c22aca20，210，即e22e10.e1或e1(舍去)所以所求双曲线的离心率为1.直线与双曲线的位置关系探究问题1直线与双曲线有几种位置关系？交点个数怎样？直线与双曲线的交点个数能否用判别式来判断？提示三种位置关系：相交两个或一个交点；相切一个交点；相离没有交点当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断2过双曲线上一点存在几条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点？解决这种问题应注意什么？提示过双曲线上一点存在三条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点，一条是切线，两条是分别与渐近线平行的直线解决这种问题时，应注意直线与渐近线平行的情况3在双曲线中，直线与双曲线相交会有几种情况，如何求弦长？提示直线与双曲线相交时， 两交点可能在两支上，也可能在同一支上弦长公式为P1P2|x1x2|或|y1y2|.设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围. 【导学号：71392083】精彩点拨把双曲线方程和直线方程联立，得到一元二次方程，利用0可得a的取值范围，进而可求离心率的取值范围自主解答由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且a1.双曲线的离心率e，因为0a且e.即离心率e的取值范围为(，)名师指津1把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式(1)0时，直线与双曲线有两个不同的交点；(2)0时，直线与双曲线只有一个公共点；(3)0时，直线与双曲线没有公共点当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点2直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件3直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，可用直线的斜率与渐近线斜率比较对于实轴在x轴上的双曲线，若|k|，则交在同一支上；若|k|0，b0)的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_解析因为渐近线方程为yx，所以，所以离心率e.答案3若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是_解析双曲线的焦点在x轴上，则c，3.又a2b2c2，解得a21，b29，方程为x21.答案x214直线xy0被双曲线x2y21截得的弦AB的长为_. 【导学号：71392084】解析直线的斜率为，由得x23x20，x1x23，x1x22.所以AB2.答案25求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分解(1)设所求双曲线的标准方程为1，由题意知2b8，e，从而b4，ca，代入c2a2b2，得a29，故双曲线的标准方程为1.(2)由两顶点间的距离是6，得2a6，即a3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即c6，于是b2c2a2623227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1.
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