《函数的概念》课件(新人教A版必修1).ppt

1 2 1 函数的概念 教学目标 使学生理解函数的概念 明确决定函数的三个要素 学会求某些函数的定义域 掌握判定两个函数是否相同的方法 使学生理解静与动的辩证关系 教学重点 函数的概念 函数定义域的求法 教学难点 函数概念的理解 初中函数的概念 在某变化过程中 有两个变量x y 如果给定一个x 相应地确定唯一的一个y值 那么就称y是x的函数 其中x是自变量 y是因变量 从上面概念知道 可以用函数描述变量x y之间的依赖关系 下面我们将进一步的学习函数及其构成要素 首先请看这几例子 引例一一枚炮弹发射后 经过60s落到地面击中目标 炮弹的射高为4410m 且炮弹距地面的高度h 单位 m 随时间 单位 s 变化的规律是h 294t 4 9t2 思考以下问题 1 炮弹飞行1秒 8秒 15秒 25秒时距地面多高 2 炮弹何时距离地面最高 3 你能指出变量t和h的取值范围吗 分别用集合A和集合B表示出来 4 对于集合A中的任意一个时间t 按照对应关系 在B中是否都有唯一确定的高度h和它对应 引例二近几十年来 大气层中的臭氧迅速减少 因而出现了臭氧层空洞问题 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 2001年的变化情况 思考 1 能从图中看出哪一年臭氧层空洞的面积最大 2 哪些年的臭氧层空洞的面积大约为1500万平方千米 3 变量t的取值范围是多少 引例三 请问 1 恩格尔系数与年份之间的关系是否和前两个事例中的两个变量之间的关系相似 2 如何用集合与对应的语言来描述这个关系 八五 计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况如下表 以上三个实例有那些公共的特点 思考 它们的关系可以描述为 对于数集A中的每一个x 按照某种对应关系f 在数集B中都有唯一确定的y和它对应 记作 f AB 设A B是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f A B为从集合A到集合B的一个函数 function 定义域 所有自变量x的值组成的集合A domain 1 函数的有关概念 函数的概念 记作 y f x x A 值域 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 range 在下列图象中 请指出哪一个是函数图象 哪一个不是 并说明理由 x x x x y y y y o o o o 1 2 3 4 例如 1 一次函数y ax b a 0 定义域为R 值域为R 2 二次函数 2 对函数的理解 A B都是非空数集 因此定义域或值域为空集的函数不存在 若y f x 是从集合A到集合B的函数 则应紧扣它的 任意性 和 唯一性 即任意性 对于集合 中的任意一个数 唯一性 在集合B中都有唯一确定的数f x 和它对应 还应注意它的 方向性 确定性 在定义中 B不一定是函数的值域 若值域为C 则一定有 如 设A 1 2 3 B 1 4 8 9 对应关系是f 平方 改为设A 1 2 3 B 1 4 9 对应关系是f 平方 函数符号 y f x 中的f x 表示与x对应的函数值 一个数 一个整体 而不是f乘x 记号 f 可以看作对 x 施加的某种法则 或运算 符号f x 与f a 既有区别又有联系 当a是变量时f x 与f a 是同一个函数 当a是常数时 f a 表示自变量x a对应的函数值 是一个常量 y f x 是函数符号 可以用任意的字母表示 如 y g x 函数 定义域 值域 对应关系 值域是由定义域和对应关系决定的 4 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 就知这两个函数相等 同一函数 也可以画出这两个函数的图象 如果图象完全相同 则这两个函数是同一函数如函数f x x与 3 构成函数的三要素是什么 4 同一函数 1 两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或为同一函数 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变量和函数值的字母无关 判定相同函数只要 定义域 对应法则相同即可 5 判定两个函数f x 和g x 是否是同一个函数的步骤是 题型一 函数的概念 例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数 不是 是 不是 是 题型二 求函数值 例2 解 1 有意义的实数x的集合是 x x 3 有意义的实数x的集合是 x x 2 所以这个函数的定义域就是 练习 2 3 因为a 0 所以f a f a 1 有意义 课堂练习 P21练习1 2 例3 下列函数哪个与函数y x相等 解 1 这个函数与y x x R 对应一样 定义域不不同 所以和y x x R 不相等 2 这个函数和y x x R 对应关系一样 定义域相同x R 所以和y x x R 相等 3 这个函数和y x x R 定义域相同x R 但是当x 0时 它的对应关系为y x所以和y x x R 不相等 题型二 同一函数 4 的定义域是 x x 0 与函数y x x R 的对应关系一样 但是定义域不同 所以和y x x R 不相等 课堂练习 P21练习 练习判断下列函数f x 与g x 是否表示同一个函数 说明理由 f x x 1 2 g x 1 f x x g x f x x2 f x x 1 2 f x x g x 6 几类函数的定义域 1 如果f x 是整式 那么函数的定义域是实数集R 2 如果f x 是分式 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 3 如果f x 是二次根式 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合 4 如果f x 是由几个部分的数学式子构成的 那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 即求各集合的交集 5 已知f x 的定义域是 a b 求f g x 的定义域 是指满足a g x b的x的取值范围 已知f g x 的定义域是 a b 求f x 的定义域 是指在x a b 的条件下 求g x 的值域 6 实际问题或几何问题给出的函数的定义域 这类问题除要考虑函数解析式有意义外 还应考虑使实际问题或几何问题有意义 7 区间的概念 满足不等式a x b的实数x的集合叫做闭区间 表示为 a b 设a b是两个实数 而且a b 我们规定 满足不等式a x b的实数x的集合叫做开区间 表示为 a b 满足不等式a x b或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间 表示为 a b 或 a b 这里的实数a b叫做相应区间的端点 实数集R可以表示为 a b b 题型三 求函数的定义域 例4 设一个矩形周长为80 其中一边长为x求它的面积关于x的函数的解析式 并写出定义域 例5设f x 的定义域是 1 3 值域为 0 1 试求函数f 2x 1 的定义域及值域 分析 函数f 2x 1 的自变量是仍是x 不是2x 1 故应由2x 1满足的条件中求出x的取值范围 进而得所求定义域 而2x 1已取遍定义域内的每一个实数 所以值域没有改变 解 由已知 1 2x 1 3 得 1 x 1 得函数f 2x 1 的定义域是 1 1 值域仍为 0 1 辩 将值域写成y 0 1 行吗 0 y 1呢 例6 孪生问题1 已知f x x2 x 1 求f 2x 1 2 孪生问题2 已知f 2x 1 的定义域是 1 3 且f x 的定义域由f 2x 1 确定 试求f x 的定义域 解 1 f 2x 1 2x 1 2 2x 1 1 4x2 2x 1 解 2 由已知 1 x 3 得2x 1 1 7 又f x 的定义域由f 2x 1 确定 故f x 的定义域为 1 7 注 1 f x 意含对x的一种运算法则 2 解题时经常将一个变量作为整体看 3 2x 1 1 7 与 1 2x 1 7是同义句 课堂小结 一个概念 二种语言 三个要素 四项注意 1 已知函数均指由定义域到值域的函数 2 函数问题首先看定义域 3 f x 含对x的一种操作规定 4 根据需要 常常要用整体看问题 数学天才 莱布尼兹 函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的 以描述曲线的一个相关量 如曲线的斜率或者曲线上的某一点 莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数 数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类 对于可导函数可以讨论它的极限和导数 此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系 是微积分学的基础