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2 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去设：A：洛孝主动归还所拾银两B：洛孝无赖银之情C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子D：洛孝所拾银子不是失主所丢问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提示：A，充分条件问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？提示：D，必要条件充分条件和必要条件如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.充要条件已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会q：前年是2012年问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件充要条件(1)如果既有pq，又有qp，通常记作pq，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题(4)若pq，但q/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(5)若p/ q，且q/ p，则p是q的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件 充分条件、必要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b；(2)p：yx4，q：x1，y3；(3)p：ab，q：2a2b；(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC为等腰三角形思路点拨可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系精解详析(1)若a，b，c成等比数列，则b2ac，b，则p/ q；若b，当a0，b0时，a，b，c不成等比数列，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要条件(2)yx4不能得出x1，y3，即p/ q，而x1，y3可得xy4，即qp，故p是q的必要不充分条件(3)当ab时，有2a2b，即pq，当2a2b时，可得ab，即qp，故p是q的充要条件(4)法一：若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形，即p/ q；若ABC为等腰三角形也不能得出ABC为直角三角形，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要条件法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件一点通充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断(3)集合法：设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若x具有性质p，则xA；若x具有性质q，则xB.若AB，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件1设集合Ax|0，集合Bx|x2|1，那么“mA”是“mB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：集合Ax|0x3，集合Bx|1x3，则由“mA”得不到“mB”，反之由“mB”也得不到“mA”，故选D.答案：D2对任意实数a，b，c给出下列命题：“ab”是“acbc”的充要条件；“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“ab”是“a2b2”的充分条件；“a5”是“ab”不能得出a2b2，如a1，b2，为假命题；“由a5”不能得“a3”，而由“a3”可得“a0的解集为R的充要条件是_解析：若x2ax10的解集为R，则a240，即2a2.又当a(2,2)时，0的解集为R，故不等式x2ax10的解集为R的充要条件是2a2.答案：2a25等差数列an的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列Sn为递增数列的充要条件是_解析：由Sn1Sn(nN)(n1)adnad(nN)dna0(nN)d0且da0.因此数列Sn为递增数列的充要条件是d0且da0.答案：d0且da06求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明：先证必要性：方程ax2bxc0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0.a12b1c0，即abc0.必要性成立再证充分性：abc0，cab.代入方程ax2bxc0中可得：ax2bxab0，即(x1)(axba)0.故方程ax2bxc0有一个根为1.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.充分条件、必要条件的应用例3已知p：关于x的不等式x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围思路点拨求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解精解详析记Ax|x，Bx|x(x3)0x|0x3，若p是q的充分不必要条件，则AB.注意到Bx|0x3，分两种情况讨论：(1)若A，即，解得m0，此时AB，符合题意；(2)若A，即，解得m0，要使AB，应有综上可得，实数m的取值范围是(，3)一点通将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围7已知条件p：x2x60，条件q：mx10(m0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值解：解x2x60得x2或x3，令A2，3，B，q是p的充分不必要条件，B A.当2时，m；当3时，m.所以m或m.8已知Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若xM是xN的充分条件，求a的取值范围解：由(xa)21得x22ax(a1)(a1)0，a1xa1，Mx|a1xa1又由x25x240得3x8，Nx|3x8xM是xN的充分条件，MN，解得2a7.故a的取值范围是2,71充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题；(2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；(3)若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题2涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系 1“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：当1x2时，必有x2；而x2时，如x0，推不出1x2，所以“1x2”是“x2”的充分不必要条件答案：A2函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1解析：函数f(x)x2mx1的图像关于x1对称1m2.答案：A3已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“2”，则命题p是命题q的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若2，则ac2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得ac2b，但不一定得出2，如a1，b0，c1.所以命题p是命题q的必要不充分条件，故选A.答案：A4“a3”是“函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当a3时，f(1)f(2)(a2)(2a2)0，即函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点；但当函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点；不一定是a3，如当a3时，函数f(x)ax23x2在区间1,2上存在零点所以“a3”是“函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点”的充分不必要条件，故选A.答案：A5直线l：xym0与圆C：(x1)2y22有公共点的充要条件是_解析：直线l与圆C有公共点|m1|21m3.答案：m1,36在下列各项中选择一项填空：充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件(1)记集合A1，p,2，B2,3，则“p3”是“ABB”的_；(2)“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上为增函数”的_解析：(1)当p3时，A1,2,3，此时ABB；若ABB，则必有p3.因此“p3”是“ABB”的充要条件(2)当a1时，f(x)|2xa|2x1|在上是增函数；但由f(x)|2xa|在区间，)上是增函数不能得到a1，如当a0时，函数f(x)|2xa|2x|在区间上是增函数因此“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间，)上为增函数”的充分不必要条件答案：(1)(2)7指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p：ABC中，b2a2c2，q：ABC为钝角三角形；(2)p：ABC有两个角相等，q：ABC是正三角形；(3)若a，bR，p：a2b20，q：ab0；(4)p：ABC中，A30，q：sin A.解：(1)ABC中，b2a2c2，cos B0，B为钝角，即ABC为钝角三角形，反之若ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2a2c2.pq，q/ p，故p是q的充分不必要条件(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，p/ q，qp，故p是q的必要不充分条件(3)若a2b20，则ab0，故pq；若ab0，则a2b20，即qp，所以p是q的充要条件(4)转化为ABC中sin A是A30的什么条件A30sin A，但是sin A/ A30，ABC中sin A是A30的必要不充分条件即p是q的必要不充分条件8求方程ax22x10有两个不相等的负实根的充要条件解：当a0时，方程为一元一次方程，其根为x，不符合要求；当a0时，方程ax22x10为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为解得0a1.所以ax22x10有两个不相等的负实根的充要条件是0a1.
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