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第09节 函数的综合问题与实际应用【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测函数的简单应用能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.2014浙江理10；2015浙江文20；理18；2016浙江文12，20；理18；2017浙江17.；2018浙江7,11，15.1.会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；2.函数的综合应用.3.常与二次函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇4.备考重点（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型.（2）函数的综合应用.【知识清单】1. 常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0).(2)反比例函数模型：y(k0).(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0).(4)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0).(5)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0).2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn200时，y5，不满足公司的要求；（2）对于y1.003x，易知满足，但当x538时，不满足公司的要求；（3）对于yln x1，易知满足.当x10,1 000时，yln 1 0001.下面证明ln 1 00015.ln 1 00015ln 1 0004(ln 1 0008)(ln 1 000ln 2 981)0，满足.再证明ln x1x25%，即2ln x4x0.设F(x)2ln x4x，则F(x)10，x10,1 000，F(x)在10,1 000上为减函数，F(x)maxF(10)2ln 104102ln 1062(ln 103)0，满足.综上，奖励模型yln x1能完全符合公司的要求考点5 函数的综合应用【5-1】【2018年浙江卷】我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则当时，_，_【答案】 8 11【解析】分析:将z代入解方程组可得x,y值.详解：点睛：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口【5-2】【腾远2018年（浙江卷）红卷】已知函数，函数.若对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围是_【答案】【解析】分析：由题意，若对任意的，都存在，使得成立，即有成立，利用二次函数的性质和绝对值不等式，分别求解函数和的最小值，得到不等式，即可求解.详解：因为函数，所以，由题意，若对任意的，都存在，使得成立，即有成立，又由，因为，且，所以，当时取等号，即的最小值为，所以，解得，即的取值范围是.【5-3】已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设（）求的值；（）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（）;（） （）由已知可得，所以可化为， 化为，令，则，因，故，记，因为，故， 所以的取值范围是 【领悟技法】1.函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.2.求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.【触类旁通】【变式一】【2017天津，文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】【变式二】已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值为_【答案】【解析】设，则，由于，则，所以将以上三式两边相加可得，即，应填答案.【易错试题常警惕】易错典例：如图所示，在矩形中，已知，（，在、上分别截取、都等于，当为何值时，四边形的面积最大？求出这个最大面积.易错分析：忽略了实际问题中自变量的取值范围，由于，所以当时，自变量不能取到，面积不能取得最大值.综上所述，若，当时面积取得最大值；若，当时面积取得最大值.温馨提醒：解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程f(x)a在区间I上有解ay|yf(x)，xIyf(x)与ya的图象在区间I上有交点(2)方程f(x)a在区间I上有几个解yf(x)与ya的图象在区间I上有几个交点一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答【典例】【2018届天津市河东区二模】已知函数满足，当时，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.详解：当时， ，在同一坐标系内画出的图像，动直线过定点，当再过时，斜率，由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，从而有两个不同的零点，故选D.
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