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专题06 万有引力定律考纲定位本讲共4个考点，两个一级考点，（1）第二宇宙速度和第三宇宙速度（2）经典时空观和相对论时空观两个二级考点（1）万有引力定律及其应用（2）环绕速度可见考试多从二级考点命制试题，选择题居多，难度有波动变化。必备知识1在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供其基本关系式为Gmm2rm()2rm(2f)2r.在天体表面，忽略自转的情况下有Gmg.2卫星的绕行速度v、角速度、周期T与轨道半径r的关系(1)由Gm，得v，则r越大，v越小(2)由Gm2r，得，则r越大，越小(3)由Gmr，得T，则r越大，T越大3卫星变轨(1)由低轨变高轨，需增大速度，稳定在高轨道上时速度比在低轨道小(2)由高轨变低轨，需减小速度，稳定在低轨道上时速度比在高轨道大4宇宙速度(1)第一宇宙速度：推导过程为：由mg得：v17.9 km/s.第一宇宙速度是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度(2)第二宇宙速度：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(3)第三宇宙速度：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度题型洞察一.题型研究一：行星或卫星的圆周运动（一）真题再现1.(2018全国卷I T20) 2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星()A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度【答案】B、C2.(2018全国卷II T16)2018年2月,我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体,已知万有引力常量为6.6710-11 Nm2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A.5109 kg/m3B.51012 kg/m3C.51015 kg/m3D.51018 kg/m3【答案】C【解析】星体自转的最小周期发生在其赤道上的物质所受向心力正好全部由引力提供时,根据牛顿第二定律:;又因为V=R3、=;联立可得=51015 kg/m3,选项C正确。3(2016全国卷乙T17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A1 hB4 hC8 h D16 h【答案】B【解析】万有引力提供向心力，对同步卫星有：mr，整理得GM当r6.6R地时，T24 h若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地三颗同步卫星A、B、C如图所示分布则有解得4 h，选项B正确。4(2015全国卷T21)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落已知探测器的质量约为1.3103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器()A在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/sB悬停时受到的反冲作用力约为2103 NC从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度【答案】BD5(2014全国卷T19)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B在2015年内一定会出现木星冲日C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短【答案】BD【解析】由题意可知地球的轨道半径r地1.0 AU，公转周期T地1年由开普勒第三定律k可知T行T地年，根据相遇时转过的角度之差2n及可知相邻冲日时间间隔为t，则t2，即t，又T火年，T木年，T土年，T天年，T海年，代入上式得t1年，故选项A错误；木星冲日时间间隔t木年2年，所以选项B正确；由以上公式计算t土2t天，t海最小，选项C错误，选项D正确（二）精准练习12017年 “网易直播” 播出了在国际空间站观看地球的视频，让广大网友大饱眼福。国际空间站（International Space Station）是一艘围绕地球运转的载人宇宙飞船，轨道近地点距离地球表面379.7km，远地点距离地球表面403.8km。运行轨道近似圆周。网络直播画面显示了国际空间站上的摄像机拍摄到的地球实时画面。如果画面处于黑屏状态，那么说明国际空间站正处于夜晚，请问，大约最多经过多长时间后，国际空间站就会迎来日出（已知地球半径约为R6.4 103km）()A24小时 B12小时 C1小时 D45分钟【答案】D 2我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星500”的实验活动。假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的。已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是()A火星的平均密度为B火星表面的重力加速度是C火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为D王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是h【答案】AD【解析】由Gmg，得：g，已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，则火星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的，即为g，设火星质量为M，由万有引力等于重力可得：Gmg解得： M，密度为：，故A正确，B错误；由Gm，得：v ，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍，故C错误；王跃以v0在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳的最大高度是：h，由于火星表面的重力加速度是g，王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度hh，D正确。 3太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,天文学中称为“行星冲日”,假定有两个地外行星A和B,地球公转周期T0=1年,公转轨道半径为r0，A行星公转周期TA=2年,B行星公转轨道半径rB=4r0,则下列说法错误的是()A. A星公转周期比B星公转周期小B. A星公转线速度比B星公转线速度大C. 相邻两次A星冲日间隔比相邻两次B星冲日间隔时间长D. 相邻两次A、B两星同时冲日时间间隔为2年【答案】CD【解析】根据开普勒第三定律，代入，得TB=8年，据题意TA=2年，所以A星公转周期比B星公转周期小，故A正确；根据T2，B星周期越大，B星轨道半径越大，由v=，B星的线速度小，所以A星公转线速度比B星公转线速度大，故B正确；A行星公转周期TA=2年，地球公转周期T0=1年，则当A星与地球处于同一直线上时，再经过2年，A行行又与地球在同一直线上，所以相邻两次A星冲日间隔为2年；相邻两次B星冲日间隔为8年，所以相邻两次A星冲日间隔比相邻两次B星冲日间隔短，故C错误；若某个时刻A、B两星冲日，根据AB选项的分析可知，经过8年，A、B两星再次同时冲日，故D错误二.题型研究二：万有引力与重力（一）真题再现1.（2018北京高考T5）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律,在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下,需要验证()A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60【答案】B2(2014全国卷T18)假设地球可视为质量均匀分布的球体已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.B.C. D.【答案】B【解析】在两极时有mg0，得地球质量M；在赤道时有mg0mgmR，得地球半径R，所以地球密度，选项B正确。3（2012全国卷T21）假设地球是一半径为R.质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A BCD【答案】A【解析】在地球表面，又，所以，因为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d的矿井内，得，所以。（二）精准练习1据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍已知近地卫星绕地球运动的周期约为T，引力常量为G则该行星的平均密度为()A. B. C. D.【答案】D【解析】对于近地卫星，设其质量为m，地球的质量为M，半径为R，则根据万有引力提供向心力，得地球的质量M=，地球的密度为=密度公式为=，已知行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍，则得行星的平均密度是地球的倍，所以该行星的平均密度为故D正确2地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示假设该地区岩石均匀分布且密度为，天然气的密度远小于，可忽略不计如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k1)已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填岩石时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1k)mg；由万有引力定律，有：(1k)mg，解得：V，D对3近几年来我国在深海与太空探测方面有了重大的发展。2015年1月5日“蛟龙号”载人潜水器在西南印度洋“龙旅”热液区完成两次下潜科考任务，2016年8月16日1时40分，我国将世界首颗量子科学实验卫星(简称“量子卫星”)发射升空。把地球看做质量分布均匀的球体且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。若地球半径为“蛟龙号”下潜深度为d，量子卫星轨道距离地面高度为h，“蛟龙号”所在处与“量子卫星”所处的加速度之比为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】设地球的密度为，地球的质量，根据黄金公式得。由题意知，质量分布均匀的球体且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于R-d的球体在其表面产生的万有引力，所以井底的重力加速度，所以.对量子卫星，根据万有引力提供向心力： ，所以，所以，所以C正确。三.题型研究三：卫星的发射与变轨（一）真题再现1(2017全国卷14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的()A周期变大 B速率变大C动能变大 D向心加速度变大【答案】C2 (2017全国卷19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()图1A从P到M所用的时间等于B从Q到N阶段，机械能逐渐变大C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小D从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功【答案】CD【解析】由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确3(2013全国卷T20)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气下列说法正确的是()A为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【答案】BC【解析】第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力Fnm减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误4(2013全国卷T20)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A.卫星的动能逐渐减小 B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小C.由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 【答案】BD【解析】卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，做近心运动，万有引力做正功，引力势能减小。由于稀薄气体的阻力做负功，故卫星的机械能减小，又稀薄气体的阻力较小，故卫星克服气体阻力做的功小于万有引力做的功，即小于引力势能的减小，由动能定理可知合外力做正功，卫星的动能增加，本题选BD。（二）精准练习12016年10月19日凌晨3点，航天员景海鹏和陈冬驾驶的神州十一号飞船与天宫二号空间实验室在离地面393km的近圆形轨道上成功实现了太空之吻。若对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，则下面说法不正确的是（ ）A实现对接后，组合体运行速度大于第一宇宙速度B航天员景海鹏和陈冬能在天宫二号中自由飞翔，说明他们不受地球引力作用C如不加干预，在运行一段时间后，组合体的动能可能会增加D如不加干预，组合体的轨道高度将缓慢升高【答案】ABD2某次军事演习中，西安卫星测控中心调动海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面军事演习提供技术支持。特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术。如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图。“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动。卫星“G1”和“G3”为同步卫星，某时刻两颗同步卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置。若卫星均顺时针运行，不计卫星间的相互作用力，则以下说法正确的是()A同步卫星“G1”和“G3”的轨道半径大小相等，均为36000千米B如果有3颗同步卫星均匀分布，其通讯范围就可以覆盖地球南北纬55度的区域C卫星“G1”由位置A运动到位置B所需要的时间为6小时D“高分一号”卫星所在高度有稀薄气体，其运行后，高度会降低，机械能回减小【答案】BD【解析】由于同步卫星，根据，则距离地面的高度为h=36000km，故选项A错误；如果有3颗同步卫星均匀分布，其通讯范围就可以覆盖地球南北纬55度的区域，故选项B正确；由于同步卫星的周期为24h，故卫星“G1”由位置A运动到位置B所需要的时间为4小时，故选项C错误；“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度有稀薄气体，克服阻力做功，机械能减小，故D正确。2据新华社北京3月21日电，记者21日从中国载人航天工程办公室了解到，已在轨工作1630天的天宫一号目标飞行器在完成与三艘神舟飞船交会对接和各项试验任务后，由于超期服役两年半时间，其功能已于近日失效，正式终止了数据服务。根据预测，天宫一号的飞行轨道将在今后数月内逐步降低，并最终再入大气层烧毁。若天宫一号服役期间的轨道可视为圆且距地面h（h343km），运行周期为T，地球的半径为R，下列关于天宫一号的说法正确的是()A. 因为天宫一号的轨道距地面很近，其线速度小于同步卫星的线速度B. 女航天员王亚平曾在天宫一号中漂浮着进行太空授课，那时她不受地球的引力作用C. 天宫一号再入外层稀薄大气一小段时间内，克服气体阻力做的功小于引力势能的减小量D. 由题中信息可知地球的质量为【答案】C【解析】根据万有引力提供向心力可知，Gm，解得v=，由于天宫一号的轨道半径小于同步卫星的半径，则其线速度大于同步卫星的线速度，故A错误；航天员在天宫一号中处于失重状态，地球对她的万有引力提供她随天宫一号围绕地球做圆周运动的向心力，不是不受地球的引力作用，故B错误；根据动能定理可知引力与空气阻力对天宫一号做的总功应为正值，而引力做的功等于引力势能的减少，即天宫一号克服气体阻力做的功小于引力势能的变化，故C正确；根据万有引力提供向心力可知，解得：，故D错误
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