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第2讲统计案例(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号线性回归方程1相关系数3独立性检验2可线性化的非线性回归分析41.(2018广西教育质量诊断性联考)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如折线图所示:(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;(3)试以第3年的前4个月的数据(如表),用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.月份x1234利润y(单位:百万元)4466相关公式:b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.解:(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元),第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)因为x=2.5,y=5,i=14xi2=12+22+32+42=30,i=14xiyi=14+24+36+46=54,所以b=54-42.5530-42.52=0.8,所以a=5-2.50.8=3,所以y=0.8x+3,当x=8时,y=0.88+3=9.4(百万元),所以估计8月份的利润为 940万元.2.(2018宝安中学、潮阳一中、桂城中学、南海中学、普宁二中、中山一中、仲元中学联考)某淘宝店经过对“十一”假期的消费情况进行统计,发现在金额不超过1 000元的消费者中男女之比约为14,该店按此比例抽取了100名消费者进行进一步分析,得到下表.女性消费情况:消费金额/元(0,200)200,400)400,600)600,800)800,1 000人数51015473男性消费情况:消费金额/元(0,200)200,400)400,600)600,800)800,1 000人数231032若消费金额不低于600元的消费者称为“网购达人”、低于600元的消费者称为“非网购达人”.(1)分别计算女性和男性消费的平均数,并判断平均消费水平高的一方“网购达人”出手是否更阔绰?(2)根据以上统计数据填写如下22列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“是否为网购达人与性别有关”.女性男性合计“网购达人”“非网购达人”合计附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879解:(1)女性消费的平均数为180(1005+30010+50015+70047+9003)=582.5(元).男性消费的平均数为120(1002+3003+50010+7003+9002)=500(元).虽然女性消费者的平均消费水平较高,但“女网购达人”的平均消费水平(为712元)低于“男网购达人”的平均消费水平(为780元),所以平均消费水平高的一方“网购达人”出手不一定更阔绰.(2)22列联表如表:女性男性合计“网购达人”50555“非网购达人”301545合计8020100K2=100(5015-305)2554580209.091,因为9.0917.879,所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为“是否为网购达人与性别有关”.3.(2018南昌市重点中学模拟)水稻苗经过一个培育周期的生长,达到8 cm左右最适宜播种,过高或过低都会影响后期的生长.为了监控水稻苗的培育过程,检验员从经过了一个培育周期的水稻苗中随机依序抽取20株,并测量其株高(单位:cm),数据如表.次序12345678910株高7.988.018.008.037.997.837.998.287.057.69次序11121314151617181920株高8.008.417.758.387.727.698.048.297.828.05其中,x=120i=120xi=7.95,s=120i=120(xi-x)2=120(i=120xi2-20x2)0.294,i=120(i-10.5)225.788,i=120(xi-x)(i-10.5)=1.38,xi为抽取的第i株水稻苗的株高,i=1,2,20.(1)求xi与i(i=1,2,20)的相关系数r,并判断抽取的20株水稻苗的株高是否与抽取次序有关(若|r|0.25,则可以认为水稻苗的株高与抽取次序无关);(2)把株高在(x-3s,x+3s)之外的水稻苗称为异常苗.监控部门要求,如果在抽取的水稻田中出现了异常苗,就认定这个培育周期的培育环境出现了异常情况,需要对培育环境进行检查和修正.从抽检的结果看,是否需要对培育环境进行检查?请说明理由;剔除异常苗的株高,用余下的数据估计总体的均值和标准差(精确到0.01).附:相关系数r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,52.236,0.0040.06.解:(1)xi与i(i=1,2,20)的相关系数r=i=120(xi-x)(i-10.5)i=120(xi-x)2i=120(i-10.5)21.380.2942025.7880.04.由于|r|0.25,故可以认为水稻苗的株高与抽取次序无关.(2)由于x=7.95,s0.294,(x-3s,x+3s)即(7.068,8.832),由样本数据可以看出,第9棵株高为7.05 cm的水稻苗为异常苗,因此需要对培育环境进行检查和修正.剔除(x-3s,x+3s)之外的数据j7.05,剩下数据的样本平均数为119(207.95-7.05)8.00,因此总体的均值的估计值为8.00.i=120xi2200.2942+207.9521 265.779.剔除7.05,剩下数据的样本方差为119(1 265.779-7.052-198.002)0.004,因此总体的标准差的估计值为0.0040.06.4.在试验中得到变量y与x的数据如表:x0.066 70.038 80.033 30.027 30.022 5y39.442.941.043.149.2由经验知识知,y与1x之间具有线性相关关系,试求y与x之间的回归方程.当x=0.038时,预测y的值.(回归方程系数及结果保留两位小数)参考公式:b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2,a=y-bx.参考数据:i=15xi=0.188 6,i=15yi=215.6,i=151xi=151.8,i=15(1xi)2=5 101.56,i=15yixi=6 689.76.解:令u=1x,则i=15ui=151.8,所以u=30.36.因为i=15yi=215.6,所以y=43.12,又i=15uiyi=i=15yixi=6 689.76,i=15ui2=i=15(1xi)2=5 101.56,所以b=i=15uiyi-5uyi=15ui2-5u2=6 689.76-530.3643.125 101.56-530.3620.29.所以a=y-bu=43.12-0.2930.3634.32,所以y=34.32+0.29u.所以所求回归曲线方程为y=34.32+0.29x,所以当x=0.038时,y的预测值为41.95.
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