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第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造函数证明不等式1,2函数零点(方程根)有关不等式3证明与数列有关的不等式41.(2017咸阳二模)已知三次函数f(x)的导函数f(x)=-3x2+3且f(0)=-1,g(x)=xln x+ (a1).(1)求f(x)的极值;(2)求证:对任意x1,x2(0,+),都有f(x1)g(x2).(1)解:依题意得f(x)=-x3+3x-1,f(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),知f(x)在(-,-1)和(1,+)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,所以f(x)极小值=f(-1)=-3,f(x)极大值=f(1)=1.(2)证明:法一易得x0时,f(x)最大值=1,依题意知,只要1g(x)(x0)xx2ln x+a(x0),由a1知,只要xx2ln x+1(x0),即x2ln x+1-x0(x0),令h(x)=x2ln x+1-x(x0),则h(x)=2xln x+x-1,h(1)=0,当x1时,h(x)0;当0x1时,h(x)0时,f(x)最大值=1,由a1知,g(x)xln x+ (x0),令h(x)=xln x+ (x0),则h(x)=ln x+1-=ln x+,注意到h(1)=0,当x1时,h(x)0;当0x1时,h(x)0时,f(x)最大值=1,由a1知,g(x)xln x+ (x0),令h(x)=xln x+ (x0),则h(x)=ln x+1-(x0),令(x)=ln x+1-(x0),则(x)= +0,知(x)在(0,+)上递增,注意到(1)=0,所以,h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,有h(x)最小值=1,即g(x)最小值=1,综上知对任意x1,x2(0,+),都有f(x1)g(x2).2.导学号 38486068(2017山东模拟)已知函数f(x)=ln x-x2+x.(1)求函数f(x)在点x=2处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)证明:当a2时,关于x的不等式f(x)0),故f(2)=-,f(2)=ln 2-2,故切线方程是y-(ln 2-2)=- (x-2),整理得y=-x+3+ln 2.(2)解:f(x)= -2x+1=(x0),由f(x)0.又x0,所以x1,所以f(x)的单调递减区间为(1,+),函数f(x)的单调递增区间为(0,1),故f(x)极大值=f(1)=0,无极小值.(3)证明:令g(x)=f(x)-( -1)x2+ax-1=ln x-ax2+(1-a)x+1,所以g(x)= -ax+(1-a)=,因为a2,所以g(x)=-,令g(x)=0,得x=,所以当x(0, ),g(x)0,当x(,+)时,g(x)0,因此函数g(x)在x(0,)上是增函数,在x(,+)上是减函数,故函数g(x)的最大值为g()=ln -a()2+(1-a)+1=-ln a,令h(a)=-ln a,因为h(2)= -ln 20,所以h(a)0,则h(a)在(0,+)上是减函数,所以当a2时,h(a)0,即对于任意正数x总有g(x)0,所以关于x的不等式恒成立.3.(2017河南安阳一模)已知函数f(x)=x+aln x与g(x)=3-的图象在点(1,1)处有相同的切线.(1)若函数y=2(x+m)与y=f(x)的图象有两个交点,求实数m的取值 范围;(2)设函数F(x)=3(x-)+g(x)-2f(x)有两个极值点x1,x2,且x1x2,求证:F(x2)0,当x(1,+)时,T(x)0,解得m0,故0m1,所以x2=1+且1x22,m=-+2x2,F(x2)-x2+1=x2-2ln x2-1,令h(t)=t-2ln t-1,1t2,则h(t)=,由于1t2,则h(t)0,故h(t)在(1,2)上递减,故h(t)h(1)=1-2ln 1-1=0,所以F(x2)-x2+1=h(x2)0,所以F(x2)0,f(x)+g(x)1恒成立,求a的取值范围;(3)求证: +0-1 x0;f(x)0,所以函数f(x)的增区间为(-1,0),减区间为(0,+),f(x)max=f(0)=0,无最小值.(2)解:x0,f(x)+g(x)1x0,ln(1+x)-x+1x0,ln(1+x)+1x0,a(x+2)1-ln(1+x),令h(x)=(x+2)1-ln(1+x).则h(x)=1-ln(1+x)-=-ln(1+x)-.当x0时,显然h(x)=-ln(1+x)-0时,h(x)0时,ln(1+x)+1,即ln(1+x)(*).在(*)式中,令x= (kN*),得ln,即ln,依次令k=1,2,3,n,得ln,ln,ln,ln.将这n个式子左右两边分别相加,得ln(n+1) +.
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