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专题2三角函数与解三角形一、三角函数的图象与性质1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么?函数y=sin xy=cos xy=tan x图象递增区间2k-2,2k+2,kZ2k-,2k,kZk-2,k+2,kZ递减区间2k+2,2k+32,kZ2k,2k+,kZ无奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k,0),kZk+2,0,kZk2,0,kZ对称轴x=k+2,kZx=k,kZ无周期性222.求函数y=Asin(x+)的单调区间时应注意什么?(1)注意的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反;(2)不要忘记写“+2k”或“+k”等,特别注意不要忘掉写“kZ”;(3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起.3.三角函数的常用结论有哪些?(1)对于y=Asin(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数;当=k+2(kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k+2(kZ)求得.(2)对于y=Acos(x+),当=k+2(kZ)时,其为奇函数;当=k(kZ)时,其为偶函数;对称轴方程可由x+=k(kZ)求得.(3)对于y=Atan(x+),当=k(kZ)时,其为奇函数.4.三角函数图象的两种常见变换是什么?(1)y=sin xy=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+).(A0,0)(2)y=sin xy=sin xy=sin(x+)y=Asin(x+).(A0,0)二、三角恒等变换与解三角形1.同角关系公式有哪些?如何记忆诱导公式?(1)同角关系:sin2+cos2=1,sincos=tan .(2)诱导公式,对于“k2,kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗?(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin()=sin cos cos sin ;cos()=cos cos sin sin ;tan()=tantan1tantan.(2)二倍角公式:sin 2=2sin cos ,cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2.(3)辅助角公式:asin x+bcos x=a2+b2sin(x+),其中tan =ba.3.在三角恒等变换中,常见的拆角、拼角技巧有哪些?=(+)-,2=(+)+(-),=12(+)+(-),+4=(+)-4,=+4-4.4.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么?在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)正弦定理:在ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC的外接圆半径).变形:a=2Rsin A,sin A=a2R,abc=sin Asin Bsin C.(2)余弦定理:在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A.变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=b2+c2-a22bc.(3)三角形面积公式:SABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B.5.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理解三角形时要注意什么?若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在ABC中,ABsin Asin B.三角函数与解三角形是高考考查的重点和热点.三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查.其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具,“角”的变换是三角恒等变换的核心.解三角形多以解答题的形式考查,常与三角恒等变换结合,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.一、选择题和填空题的命题特点(一)三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,考查主要从以下两个方面进行:(1)三角函数的图象,主要涉及图象变换以及由图象确定解析式;(2)利用三角函数的性质求解三角函数中有关值、参数、最值、值域、单调区间等问题.1.(2018全国卷文T8改编)已知函数f(x)=2cos22x+5,则().A.f(x)的最小正周期为,最大值为7B.f(x)的最小正周期为2,最小值为5C.f(x)的最小正周期为2,最大值为7D.f(x)的最小正周期为2,最小值为5解析f(x)=cos222x+5=cos 4x+6,故f(x)的最小正周期为2,最大值为7,最小值为5.答案D2.(2016全国卷理T7改编)若将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移12个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一个对称中心是().A.24,0B.-6,0C.6,0D.12,0解析由题意可知函数f(x)=sin 2x的图象向右平移12个单位长度,得到函数g(x)=sin2x-12=sin2x-6的图象.令2x-6=k(kZ),得x=12+k2(kZ),由此可得y=g(x)图象的一个对称中心是12,0,故选D.答案D(二)三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决问题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换.“角”的变换是三角恒等变换的核心.3.(2018全国卷理T15改编)已知sin +cos =63,sin -cos =1,则sin(-)=().A.-112B.-16C.16D.112解析将sin +cos =63的等式两边平方得sin2cos+2+2sin cos =23,将sin -cos =1的等式两边平方得sin2+cos2-2sin cos =1.+得sin(-)=-16,故选B.答案B4.(2018全国卷文T4改编)已知tan =12,则sin 2-2cos2=().A.-1B.-45C.45D.-34解析sin 2-cos22=sin2-2cos21=2sincos-2cos2sin2+cos2=2tan-2tan2+1=-45,故选B.答案B(三)正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.5.(2018全国卷文T16改编)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bsin C+3csin B=4asin Bsin C,且2bsin B+2csin C=bc+3a,则ABC面积的最大值为().A.332B.32C.334D.34解析根据题意,结合正弦定理可得3sin Bsin C+3sin Csin B=4sin Asin Bsin C,即sin A=32.2bsin B+2csin C=bc+3a,bsin B+csin C=12bc+32a,bsin B+csin C=33bcsin A+asin A,则b2+c2=33abc+a2.由余弦定理可得2bccos A=33abc,解得a=23cos A=3.由b2+c2=bc+32bc,得bc3,从而SABC=12bcsin A334,故选C.答案C6.(2018全国卷文T11改编)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C=().A.-34B.-43C.34D.43解析2S=(a+b)2-c2,absin C=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab,sin C=2cos C+2,sin2C=(2cos C+2)2=1-cos2C,即5cos2C+8cos C+3=0,cos C=-35(cos C=-1舍去),sin C=45,tan C=sinCcosC=-43,故选B.答案B二、解答题的命题特点高考全国卷中有关解三角形的解答题,主要涉及利用正、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,两个定理与三角恒等变换的结合.这类试题一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质.(2018全国卷理T17改编)如图,在四边形ABCD中,cosDAB=-14,ADAB=23,BD=4,ABBC.(1)求sinABD的值;(2)若BCD=4,求CD的长.解析(1)因为ADAB=23,所以设AD=2k,AB=3k,其中k0.在ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcosDAB,所以16=9k2+4k2-23k2k-14,解得k=1,则AD=2,而sinDAB=1-142=154.在ABD中,由正弦定理得sinABD=ADBDsinDAB=24154=158.(2)由(1)可知,sinABD=158,而ABBC,则sinCBD=sin2-ABD=cosABD=1-1582=78.在BCD中,BCD=4,由正弦定理得CD=sinCBDsinBCDBD=78224=722.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.
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