2018-2019学年高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法学案 北师大版选修1 -2.docx

3综合法与分析法学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案利用已知条件a0，b0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论梳理综合法的定义及特点(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”(3)模式：综合法可以用以下的框图表示其中P为条件，Q为结论知识点二分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a，b0，求证：.证明：要证，只需证ab2，只需证ab20，只需证()20，因为()20显然成立，所以原不等式成立答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件梳理分析法的定义及特征(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等我们把这样的思维方法称为分析法(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：1综合法是执果索因的逆推证法()2分析法就是从结论推向已知()3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()类型一用综合法证明不等式例1已知a，b，cR，且它们互不相等，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a，b，c互不相等，a4b4c4a2b2b2c2c2a2.反思与感悟综合法证明问题的步骤：跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：3.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为3，又a，b，c为不全相等的正实数，而2，2，2，且上述三式等号不能同时成立，所以3633，即3.类型二分析法的应用例2设a，b为实数，求证：(ab)考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证反思与感悟分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“”跟踪训练2设ab0，求证：()考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明因为ab0，所以a2abb2，所以a2ab0.要证()，只需证，只需证.又()成立类型三分析法与综合法的综合应用例3ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(ab)1(bc)13(abc)1.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，即证3，即证1.即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，得b2c2a22cacos60，即b2c2a2ac.所以c2a2acb2成立，命题得证引申探究本例改为求证.证明要证，只需证ab(ab)c(1ab)c，即证abc.而abc显然成立，所以.反思与感悟综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练3已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需证logxlogx(abc)，由已知0xabc，由公式0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立.1命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的证明过程为：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”，其应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D类比法考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案B解析在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法2要证成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2b0时，才有a2b2，只需证，即证()2()2.3设0x1，则a，bx1，c中最大的是()AaBbCcD随x取值不同而不同考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案C解析0x2a，(x1)0，cba.4已知f(x)(xR)是奇函数，那么实数a的值为_考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案1解析f(x)(xR)是奇函数，f(x)f(x)0，a1.5已知a，b，c都为正实数，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证，只需证2，只需证3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以成立1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、选择题1用分析法证明：欲使AB，只需C1，xy0，则()Ax0，y0Bx0，y0，y0Dx0考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案A解析由得3下列函数中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案A解析由题意得，f(x)在区间(0，)上是减少的，只有f(x)符合要求4要证a2b21a2b20，只需证()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案D解析要证a2b21a2b20，只需证a2b2(a2b2)10，即证(a21)(b21)0.5在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是()Ab2c2a2Bb2c2a2Cb2c2a2Db2c2a2考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案D解析由余弦定理的推论，得cosA，A为钝角，cosA0，则b2c2B是sinAsinB的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案C解析由正弦定理得2R(R为ABC的外接圆半径)，又A，B为三角形的内角，sinA0，sinB0，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB.7设a，b0，且ab，ab2，则必有()A1abBab1Cab1D.abab，又因为ab22，故ab1，即1ab.8设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)是减少的若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负B恒等于零C恒为正D无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)是减少的，可知f(x)在R上是减少的由x1x20，可知x1x2，所以f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0，10，10，8，当且仅当abc时取等号，不等式成立这种证法是_(填“综合法”或“分析法”)考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案综合法解析本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法10如果abab，则正数a，b应满足的条件是_考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案ab解析ab(ab)a()b()()(ab)()2()只要ab，就有abab.11设a0，b0，a21，则a的最大值为_考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案解析aa，当且仅当a2且a21，即a，b时，等号成立三、解答题12已知nN，且n2，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证，即证1n，只需证n1.n2，只需证n(n1)(n1)2，只需证nn1，该不等式显然成立，故原不等式成立13(1)用分析法证明：当a2时，4.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明(1)要证2，只需证()2(2)2，只需证2a24a，只需证a.a24a2显然成立，a成立，0，b0，且ab，ab(ab)11224，ab4.四、探究与拓展14若不等式(1)na2对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案解析当n为偶数时，a2，而22，所以a2，而22，所以a2.综上可得，2a.15在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明由A，B，C成等差数列，得2BAC.由于A，B，C为ABC的三个内角，所以ABC.由，得B.由a，b，c成等比数列，得b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accosBa2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以AC.由，得ABC，所以ABC为等边三角形