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第一章检测试题(时间:90分钟满分:120分)【选题明细表】 知识点、方法题号集合的概念及关系1,3,11集合的运算2,17函数的概念与表示4,6,13奇偶性15单调性与最值5,7,9,10,12函数的综合应用8,14,16,18,19,20一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列关系式中,正确的是(C)(A)Q (B)(a,b)=(b,a)(C)21,2 (D)=0解析:A中是无理数,因此不正确;B中两集合为点集,元素不同,所以集合不相等;C中元素集合的关系式正确;D中空集不含有任何元素,因此两集合不相等.选C.2.设集合U=1,2,3,4,5,A=1,2,3,B=2,3,4,则U(AB)等于(B)(A)2,3 (B)1,4,5 (C)4,5 (D)1,5解析:因为A=1,2,3,B=2,3,4,所以AB=2,3.又U=1,2,3,4,5,所以U(AB)=1,4,5.故选B.3.设集合A=-2,0,1,3,集合B=x|-xA,1-xA,则集合B中元素的个数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:若xB,则-xA,所以x的可能取值为2,0,-1,-3,当2B时,则1-2=-1A,所以2B;当0B时,则1-0A,所以0B;当-1B时,则1-(-1)=2A,所以-1B;当-3B时,则1-(-3)=4A,所以-3B,综上,B=-3,-1,2,所以,集合B含有的元素个数为3,故选C.4.函数y=的定义域为(B)(A)(-1,2)(B)(-1,1)(1,2)(C)(-,1)(1,+)(D)-1,1)(1,2解析:要使函数有意义,则解得-1xf(1+m),则实数m的取值范围是(B)(A)(-,-1) (B)(-,1)(C)(-1,+) (D)(1,+)解析:因为函数y=f(x)在R上单调递减且f(2m)f(1+m),所以2m1+m,所以m1.故选B.8.函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数的单调递增区间为(B)(A)0,+) (B)(-,0(C)(-,+)(D)1,+)解析:因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以ax2-(2+a)x+1=ax2+(2+a)x+1,化为(2+a)x=0,对于任意实数x恒成立,所以2+a=0,解得a=-2.所以f(x)=-2x2+1,其单调递增区间为(-,0.故选B.9.已知m-2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=-x2-2x的图象上,则(A)(A)y1y2y3 (B)y2y3y1(C)y1y3y2 (D)y3y1y2解析:因为y=-(x+1)2+1,所以y=-x2-2x在(-,-1上是增函数,在-1,+)上是减函数.因为m-2,所以m-1mm+1-1,所以f(m-1)f(m)f(m+1),即y1y2y3.故选A.10.若xR,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为(B)(A)2 (B)1 (C)-1 (D)无最大值解析:由题知f(x)=f(x)的图象如图,由图可知x=1时,f(x)max=1.故选B.11.设集合P=2,3,Q=4,5,6,7,定义PQ=(a,b)|aP,bQ,则PQ中元素的个数为(C)(A)5个(B)6个(C)8个(D)16个解析:由定义可得PQ=(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5), (3,6),(3,7)共8个元素,故选C.12.已知函数f(x)=x2-6x+8在1,a上的最小值为f(a),则实数a的取值范围为(A)(A)(1,3 (B)(1,+)(C)(1,5) (D)3,5解析:将函数配方,f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,所以函数的图象开口向上,对称轴为直线x=3,因为函数f(x)=x2-6x+8在1,a上的最小值为f(a),所以1时,f(x)0.给出以下结论:f(0)=-;f(-1)=-;f(x)为R上的减函数;f(x)+为奇函数;f(x)+1为偶函数.其中正确结论的序号是 .解析:令x=y=0,代入可得f(0)=2f(0)+,因此f(0)=-,对;令x=-y=,代入可得f(0)=f()+f(-)+,即-=0+f(-)+,因此f(-)=-1,再令x=y=-,代入可得f(-1)=f(-)+f(-)+=-,因此对;令y=-1,代入可得f(x-1)=f(x)+f(-1)+,即f(x-1)-f(x)=f(-1)+=-10,因此f(x-1)f(x),故错;令y=-x,代入可得f(0)=f(x)+f(-x)+,即f(x)+f(-x)+=0,因此f(x)+为奇函数,对;因为f(x)+1=f(x)+,由可知g(x)=f(x)+为奇函数,g(x)+-g(-x)-=2g(x)不恒为0,故错.答案:三、解答题(共40分)17.(本小题满分8分)设全集是实数集R,A=x|x3,B=x|x2+a0.(1)当a=-4时,求AB和AB;(2)若(RA)B=B,求实数a的取值范围.解:(1)因为A=x|x3,当a=-4时,B=x|-2x2,所以AB=x|x2,AB=x|-2x3.(2)RA=x|x3,当(RA)B=B时,BRA,即AB=.当B=,即a0时,满足BRA;当B,即a0时,B=x|-x,要使BRA,需,解得-a0.综上可得,实数a的取值范围是-,+).18.(本小题满分10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x+m.(1)求实数m的值及f(-3)的值;(2)求函数f(x)的解析式并画出函数f(x)的简图.解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-2x+m,即函数f(x)在x=0处有意义,因此,由f(0)=0知m=0.由函数f(x)为奇函数知f(-3)=-f(3)=-(32-23)=-3.(2) 由已知条件知当x0时,f(x)=x2-2x,当x0,由已知条件知f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,由函数f(x)为奇函数知f(-x)=-f(x),故有-f(x)=x2+2x,即f(x)=-x2-2x.综上可知,f(x)=函数f(x)的简图如图所示.19.(本小题满分10分)已知定义在R上的函数f(x)对所有的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+ f(n),且当x0时,f(x)0成立,f(2)=-4.(1)求f(0),f(1),f(3)的值;(2)证明函数f(x)在R上是减函数;(3)解不等式f(x2)+f(2x)-6.(1)解:因为对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)成立,所以令m=n=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.令m=n=1,得f(2)=f(1)+f(1)=-4,所以f(1)=-2,令m=1,n=2,得f(3)=f(1)+f(2)=-2-4=-6.(2)证明:设x1,x2是任意两个实数,且x10,所以f(x2-x1)0,所以f(x2)-f(x1)0,所以f(x2)f(x1),所以f(x)在R上是减函数.(3)解:由(1)知,不等式f(x2)+f(2x)-6可化为f(x2+2x)3,即x2+2x-30,解得x1.所以不等式的解集为x|x1.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1,其中a0,aR.(1)若a=1,作函数f(x)的图象;(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.解:(1)当a=1时,f(x)=x2-|x|+1=作图(如图所示).(2)当x1,2时,f(x)=ax2-x+2a-1.若a=0,则f(x)=-x-1在区间1,2上是减函数,g(a)=f(2)=-3.若a0,则f(x)=a(x-)2+2a-1,f(x)图象的对称轴是直线x=.当0时,f(x)在区间1,2上是增函数,g(a)=f(1)=3a-2.当12,即a时,g(a)=f()=2a-1,当2,即0a时,f(x)在区间1,2上是减函数,g(a)=f(2)=6a-3.综上可得g(a)=
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