2018-2019学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质学案 新人教A版选修4-1.docx

三相似三角形的判定及性质学习目标1.理解相似三角形的定义.2.理解预备定理的本质.3.会证明判定定理1，2，3，理解这些定理的内容，能应用这些定理证明相关的几何问题.4.掌握直角三角形相似的判定定理，会应用定理证明相关的几何问题.知识链接1.在初中我们学习过相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定义的？提示对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).2.判断下列各命题的正确性，正确的打“”，错误的打“”(1)两个等边三角形相似()(2)两个直角三角形相似()(3)两个等腰直角三角形相似()(4)有一个角为50的两个等腰三角形相似()(5)有一个角为100的两个等腰三角形相似()预习导引1.相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数).(2)记法：两个三角形相似，用符号“”表示，例如ABC与ABC相似，记作ABCABC.2.相似三角形的判定定理内容简述作用预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定两个三角形相似判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似两角对应相等，两个三角形相似判定两个三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判定两个三角形相似引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边判定两条直线平行判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似三边对应成比例，两个三角形相似判定两个三角形相似3.直角三角形相似的判定定理(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.4.相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(2)相似三角形周长的比等于相似比.(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.两个相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比，外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方.6.相似三角形的性质和全等三角形的性质比较全等三角形相似三角形对应边相等对应边成比例对应角相等对应角相等对应中线相等对应中线的比等于相似比对应角平分线相等对应角平分线的比等于相似比对应高相等对应高的比等于相似比周长相等周长比等于相似比面积相等面积比等于相似比的平方外接(内切)圆的直径相等外接(内切)圆的直径比等于相似比外接(内切)圆的周长相等外接(内切)圆的周长比等于相似比外接(内切)圆的面积相等外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方要点一相似三角形的判定例1如图所示，ABCD90，ACa，BCb，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，ABC与CDB相似？解(1)ABCCDB90，当时，ABCCDB.即，BD时，ABCCDB.(2)ABCBDC90，当时，ABCBDC，即，BD时，ABCBDC.综上，当BD或BD时，ABC与CDB相似.规律方法解决此类问题，重点应放在“对应关系”上，根据“对应关系”进行合理的讨论是解题的关键.跟踪演练1如图所示，等腰三角形ABC中，ABAC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，满足AB2DBCE.(1)求证：ADBEAC；(2)若BAC40，求DAE的度数.(1)证明ABAC，ABCACB，ABDECA.又AB2DBCE，ADBEAC.(2)解ABAC，BAC40，ABC70.又ADBEAC，DEAC，DAEDABBACEACDABBACDABCBAC7040110.要点二直角三角形的判定例2如图所示，矩形ABCD中，ABBC56，点E在BC上，点F在CD上，且ECBC，FCCD.求证：AFDFEC.证明设ECx，则BCAD6x，ABDC5x，FC3x，FD2x，2，2，又DC90，AFDFEC.规律方法直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法.跟踪演练2如图所示，直线EF交AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，ACBC，且ABCDDEAC.求证：AECEDEEF.证明ABCDDEAC，.ACBC，ACBDCE90，RtACBRtDCE，AD.又AEFDEC，AEFDEC，AECEDEEF.要点三相似三角形的性质例3如图所示，在ABC和DBE中，.(1)若ABC与DBE的周长之差为10 cm，求ABC的周长；(2)若ABC与DBE的面积之和为170 cm2，求DBE的面积.解(1)，ABCDBE.设ABC的周长为5xcm，则DBE的周长为3xcm，依题意，得5x3x10，解得x5.ABC的周长为25 cm.(2)ABCDBE，.设SABC25ycm2，则SDBE9ycm2，依题意，得25y9y170，解得y5.DBE的面积为45 cm2.规律方法在利用相似三角形的性质建立比例式时，一定要注意比的顺序，才能得出正确的结果.跟踪演练3如图所示，在ABC中，DEBC，SADESABC49.求：(1)AEEC；(2)SADESCDE.解(1)DEBC，ADEABC.，.(2)如图所示，作DFAC于F，则SADEDFAE，SCDEDFEC，.1.相似三角形判定定理的作用(1)可以用来判定两个三角形相似；(2)间接证明角相等，线段长成比例；(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件.2.三角形相似的判定定理的一些常见推论推论1：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似；推论2：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似；推论3：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似.推论4：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似.3.相似三角形的性质定理的内容归纳起来主要有两个方面：一是相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线以及周长)的比等于相似比；二是相似三角形面积的比等于相似比的平方，运用性质定理，拓宽思路，可以探讨得到：两个相似三角形中的所有对应图形(所有对应线段如等分线段，等分角线以及外接圆与内切圆的直径、周长、面积等)与相似比都有一定的关系.1.如图，在ABC中，DEBC，点F是BC上的一点，AF交DE于点G，则与ADG相似的是()A.AEGB.ABFC.AFCD.ABC解析在ABF中，DGBF，则ADGABF.答案B2.如图，在ABC中，BAC90，ADBC，垂足为D，DEAB，垂足为E，则图中与RtADE相似的三角形个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析图中RtCBA，RtCAD，RtABD，RtDBE均与RtADE相似.答案D3.(2016深圳调考)如图所示，BACDCB，CDBABC90，ACa，BCb.则BD_(用a，b表示).解析由题意可得ABCCDB，BD.答案4.(2016天津南开中学检测)如图所示，已知点D是ABC中AB上的一点，DEBC且交AC于点E，EFAB且交BC于点F，且SADE1，SEFC4，求四边形BFED的面积.解ABEF，DEBC，ADEABC，EFCABC，ADEEFC.又SADESEFC14，AEEC12，AEAC13.SADESABC19.SADE1，SABC9.S四边形BFEDSABCSADESEFC9144.一、基础达标1.在ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：ACPB；APCACB；AC2APAB；ABCPAPCB.其中，能判定APC与ACB相似的条件是()A.B.C.D.解析如图，AA，ACPB，APCACB时，都满足三角形相似的条件；当AC2APAB时，即，也满足相似条件；中两个对应边的夹角不是A，故不相似.答案D2.如图所示，ABCAEDAFG，DE是ABC的中位线，ABC与AFG的相似比是32，则AED与AFG的相似比是()A.34 B.43C.89 D.98解析因为ABC与AFG的相似比是32，故ABAF32，又ABC与AED的相似比是21，即ABAE21，故AED与AFG的相似比kAEAF.故选A.答案A3.在ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DEBC，ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DEBC的值为()A.1B.12C.13 D.14解析如图，DEBC，ADEABC，SADESABC2(62)14，DEBC12.答案B4.(2016黄冈调考)如图，在ABCD中，AEEB12，AEF的面积为6，则ADF的面积为_.解析AEDC，AEEB12，AEFCDF，且相似比，又AEF的边EF上的高与ADF的边DF上的高相等，.又SAEF6，SADF18.答案185.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABAD，对角线BDDC，AD3，BC7，则BD2_.解析ADCBCD180，BDC90，ADBBCD90.而ADBABD90，ABDBCD.又BADBDC90，RtABDRtDCB.BD2ADBC3721.答案216.如图所示，在ABCD中E，F分别在AD与CB的延长线上，请写出图中所有的相似三角形.解ABCD，EDHEAG，CHMAGM，FBGFCH.又ADBC，AEMCFM，EDHFCH，AEGBFG，ABCCDA.图中的相似三角形有AEMCFM，AGMCHM，EDHEAGFBGFCH，ABCCDA.二、能力提升7.在ABC中，AB9，AC12，BC18，点D为AC上一点，DCAC，在AB上取一点E，得到ADE，若ADE与ABC相似，则DE的长为()A.6 B.8C.6或8 D.14解析当ADEACB时，则，DE6，当ADEABC时，则，DE8.答案C8.如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3.则DE_，CE_.解析在RtACE和RtADB中，A是公共角，ACEADB，.AE8.则DEAEAD835.在RtACE中，CE2.答案529.如图所示，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则BE_.解析BD，AEBACD90，AEBACD，从而得，解得AE2，故BE4.答案410.如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，有BP3PC，Q是CD的中点.求证：ADQQCP.证明在正方形ABCD中，Q是CD的中点，2.3，4.又BC2DQ，2.在ADQ和QCP中，2，CD90，ADQQCP.11.如图所示，ABC为正三角形，D，E分别是AC，BC边上的点(不在顶点)，BDE60.(1)求证：DECBDA；(2)若正三角形ABC的边长为6，当D点在什么位置时，可使BE最短，此时BE长是多少？(1)证明BDE60，BDCBDECDE60CDE.又BDC是ABD的一个外角，且A60，BDCAABD60ABD，CDEABD.又AC60，DECBDA.(2)解设DCx，BEy，则EC6y，AD6x.由(1)可得，整理得，即yx2x6(0x6)，配方得y(x3)2.0xAE).(1)AEF与ECF是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.(2)设k，是否存在这样的k值，使得AEF与BCF相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)相似.在矩形ABCD中，AD90.EFEC，A，D，E共线，AEFDEC90.又DECDCE90，AEFDCE.AEFDCE.AEDE，.又AFEC90，AEFECF.(2)存在.由于AEF90AFE180CFEAFEBFC，只能是AEFBCF.AEFBCF.由(1)知AEFDCEECF，AEFDCEECFBCF，又DCEECFBCF90，DCE30，即k.反过来，当k时，DCE30，AEFDCE30，ECFAEF30，BCF90303030AEF.AEFBCF.