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第五节指数与指数函数A组基础题组1.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为()A.18B.21C.24D.27答案D2x=8y+1=23(y+1),x=3y+3,9y=3x-9=32y,x-9=2y,解得x=21,y=6,x+y=27.2.函数y=ax-1a(a0,且a1)的图象可能是()答案D当x=-1时,y=1a-1a=0,所以函数y=ax-1a的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选D.3.设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则()A.y3y1y2B.y2y1y3C.y1y2y3D.y1y3y2答案Dy1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=12-1.5=21.5.因为1.81.51.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1y3y2.4.设x0,且1bxax,则()A.0ba1B.0ab1C.1baD.1ab答案C1bx,b00,b1,bx1,ab1ab,1ba.故选C.5.(2019河北保定模拟)已知实数a,b满足等式12a=13b,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B函数y1=12x与y2=13x的图象如图所示.由12a=13b得,ab0或0b0,且a1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是.答案(0,1)解析因为函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b,由题意得0a1,1-b0,解得0a1,故ab(0,1).7.若函数f(x)=a|2x-4|(a0,且a1),满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是.答案2,+)解析由f(1)=19得a2=19,所以a=13或a=-13(舍去),即f(x)=13|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.8.函数y=14x-12x+1在区间-3,2上的值域是.答案34,57解析令t=12x,则t14,8,y=t2-t+1=t-122+34.当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.故所求函数的值域为34,57.9.已知函数f(x)=13ax2-4x+3.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+),求a的值.解析(1)当a=-1时, f(x)=13-x2-4x+3,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y=13t在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+),单调递减区间是(-,-2).(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=13g(x),由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有a0,3a-4a=-1,解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(若a0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.10.已知函数f(x)=10x-10-x10x+10-x.(1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f(x)在定义域内是增函数;(3)求f(x)的值域.解析(1)因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)=10x-10-x10x+10-x=102x-1102x+1=1-2102x+1,任取x1,x2R,且令x2x1,则f(x2)-f(x1)=1-2102x2+1-1-2102x1+1=2102x2-102x1(102x2+1)(102x1+1).因为x2x1,所以102x2-102x10,又102x2+10,102x1+10,所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以函数f(x)在定义域内是增函数.(3)令y=f(x),由y=10x-10-x10x+10-x,解得102x=1+y1-y,因为102x0,所以-1y1,即函数f(x)的值域是(-1,1).B组提升题组1.已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是() A.a0,b0,c0 B.a0C.2-a2cD.2a+2c2答案D作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,又abf(c)f(b),结合图象知f(a)1,a0,0f(c)1,0c1,02a1,12cf(c),即1-2a2c-1,2a+2c2,故选D.2.已知函数f(x)=2x-12x,函数g(x)=f(x),x0,f(-x),x0,则函数g(x)的最小值是.答案0解析当x0时,g(x)=f(x)=2x-12x为单调增函数,所以g(x)g(0)=0;当x0,且a1,函数y=a2x+2ax-1在-1,1上的最大值是14,则实数a的值为.答案13或3解析令t=ax(a0,且a1),则原函数可化为y=f(t)=(t+1)2-2(t0).当0a1时,由x-1,1,得t=ax1a,a,此时f(t)在1a,a上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1)2=16,即a=-5(舍去)或a=3.综上,a=13或a=3.4.已知函数f(x)=1-42ax+a(a0,且a1)是定义在(-,+)上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的值域;(3)当x(0,1时,tf(x)2x-2恒成立,求实数t的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).即1-42a-x+a=-1+42ax+a,所以a=2.(2)记y=f(x),即y=2x-12x+1,所以2x=1+y1-y.由2x0,得1+y1-y0,解得-1y1.所以f(x)的值域为(-1,1).(3)由tf(x)2x-2得t2x-t2x+12x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-20.设u=2x,因为x(0,1,所以u(1,2.即当u(1,2时,u2-(t+1)u+t-20恒成立.所以12-(t+1)1+t-20,22-(t+1)2+t-20,解得t0.故t的取值范围是0,+).
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