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课时跟踪检测（十三） 数列的求和（习题课）层级一学业水平达标1已知an(1)n，数列an的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是_解析：S91111111111，S10S9a10110.答案：1,02数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则n_.解析：an，Sna1a2an(1)()()1，令110，得n120.答案：1203已知数列an，a12，an12an0，bnlog2an，则数列bn的前10项和等于_解析：在数列an中，a12，an12an0，即2，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列所以an22n12n.所以bnlog22nn.则数列bn的前10项和为121055.答案：554在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31_.解析：S15(4)7(1)14(4153)29.S22(4)1144.S31(4)15(1)30(4313)61.S15S22S3129446176.答案：765数列1,12,1222，12222n1，的前99项和为_解析：由数列可知an12222n12n1，所以前99项的和为S99(21)(221)(2991)22229999992100101.答案：21001016已知等比数列an的公比q1，且a11,3a32a2a4，则数列的前4项和为_解析：等比数列an中，a11,3a32a2a4，3q22qq3.又q1，q2，an2n1，2n1，即是首项为，公比为的等比数列，数列的前4项和为.答案：7等比数列an的前n项和为Sn，若3，则_.解析：3，故q1，1q33，即q32.所以.答案：8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列an的前n项和Sn_.解析：an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.答案：2n129已知an是递增的等差数列，a12，aa48.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan2，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设数列an的公差为d，d0.由题意得(2d)223d8，解得d2.故ana1(n1)d2(n1)22n.(2)bnan22n22n，Snb1b2bn(222)(424)(2n22n)(242n)(222422n)n(n1).10在等差数列an中，a34，a78.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)因为d1，所以ana3(n3)dn1.(2)bn，Tnb1b2bn2.Tn，由得Tn211213，所以Tn6.层级二应试能力达标1已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析：因为an1Sn1Sn，所以由Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，整理得3Sn2Sn1，所以，所以数列Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，故Snn1.答案：n12已知数列an：，那么数列bn前n项的和为_解析：an，bn4.Sn44.答案：3某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是_亿元解析：由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S511(1.151)a亿元答案：11(1.151)a4设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1ab2ab10等于_解析：由已知可得ann1，bn2n1，于是abnbn1，因此ab1ab2ab10(b11)(b21)(b101)b1b2b101020212910101 033.答案：1 0335求和：Sn11_.解析：被求和式的第k项为：ak12.所以Sn22222n2.答案：2n26已知等比数列an及等差数列bn，其中b10，公差d0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，则这个新数列的前10项和为_解析：设数列an的公比为q，则an的前三项分别为1，q，q2，bn的前三项分别为0，d,2d，于是解得(舍去)或于是新数列的前10项和为(a1b1)(a2b2)(a10b10)(a1a2a10)(b1b2b10)100(1)978.答案：9787设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2)，Sn1，2Sn23.，得Sn2222226.8已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Sn，求证：Sn2.解：(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)证明：设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.所以Sn2.
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