2018-2019高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦学案 苏教版必修4.doc

3.1.1两角和与差的余弦学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值知识点一两角差的余弦思考1cos(9030)cos90cos30成立吗？答案不成立思考2单位圆中(如图)，P1Ox，P2Ox，那么P1，P2的坐标是什么？与的夹角是多少？答案P1(cos，sin)，P2(cos，sin).与的夹角是.思考3由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程答案在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角，其终边分别与单位圆交于P1(cos，sin)，P2(cos，sin )，则P1OP2.由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以，我们只需考虑0的情况设向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，则ab|a|b|cos()cos()另一方面，由向量数量积的坐标表示，有abcoscossinsin，所以cos()coscossinsin.(C()梳理两角差的余弦公式cos()coscossinsin.(C()知识点二两角和的余弦思考你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？答案能，cos()cos()coscos()sinsin()coscossinsin.梳理两角和的余弦公式cos()coscossinsin.(C()特别提醒：(1)公式中的角，是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos()，cos()是一个整体(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式1.存在角，使得cos()coscos.()提示如，cos()coscos，coscoscoscos，满足cos()coscos.2任意角，cos()coscossinsin.()提示由两角差的余弦公式可知不正确3任意角，cos()coscossinsin.()4不存在角，使得cos()coscossinsin.()提示如0，cos()cos01，coscossinsin1.类型一给角求值问题例1求下列各式的值：(1)cos40cos70cos20cos50；(2)；(3)cos15sin15.解(1)原式cos40cos70sin70sin40cos(7040)cos30.(2)原式cos15cos(6045)cos60cos45sin60sin45.(3)cos60，sin60，cos15sin15cos60cos15sin60sin15cos(6015)cos45.反思与感悟对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)；(2).解(1)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)cos(35)(25)cos(60).(2)原式2.类型二已知三角函数值求值例2已知sin，sin，且，求cos()解sin，cos.又sin，cos，cos()coscossinsin.引申探究1若将本例改为已知sin，sin，且2，0，求cos()解sin，0，cos.又sin，且2，当时，cos，cos()coscossinsin；当2时，cos，cos()coscossinsin.综上所述，cos()或.2若将本例改为已知sin，cos()，求sin.解sin，且，cos.又，0.又cos()，sin()，coscos()coscos()sinsin()，又，sin.反思与感悟(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：()，()，(2)()，()()，()()等跟踪训练2已知，且cos()，sin()，求cos2的值解因为，所以，0，又因为cos()，sin()，所以sin()，cos()，所以cos2cos()()cos()cos()sin()sin().类型三已知三角函数值求角例3已知cos，cos()，且0，求的值解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，又0，.反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角跟踪训练3已知锐角，满足sin，cos，求的值解因为，为锐角且sin，cos，所以cos，sin，所以cos()coscossinsin，由0，0，得0，又cos()0，所以为锐角，所以.1coscoscossin.答案解析coscoscossincoscossinsincoscos.2若a(cos60，sin60)，b(cos15，sin15)，则ab.答案解析abcos60cos15sin60sin15cos(6015)cos45.3已知cos，且为第一象限角，则cos.答案解析cos，且为第一象限角，sin，coscoscossinsin.4已知sin()，cos()，0，则角.答案解析因为sin()，所以sin .因为0，所以cos .因为cos()，且0，所以0，所以sin().所以cos cos()cos cos()sin sin().因为0，所以.5已知sin()，sin()，且，求cos 2的值解sin()，cos().sin()，cos().cos2cos()()cos()cos()sin()sin()1.1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定一、填空题1化简cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)的结果为答案解析原式cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60).2已知点P(1，)是角终边上一点，则cos.答案解析由题意可得sin，cos，coscoscossinsin.3cos263cos203sin83sin23的值为答案解析cos263cos(18083)cos83，cos203cos(18023)cos23，原式cos83cos23sin83sin23cos(8323)cos60.4若cos()，cos2，并且，均为锐角且，则的值为答案解析，2(0，)，sin()，sin2，cos()cos2()cos2cos()sin2sin()，(0，)，.5若x0，sinsincoscos，则x的值是答案解析由已知得，coscossinsincosx0.x0，x.6计算sin7cos23sin83cos67的值为答案解析sin7cos23sin83cos67cos83cos23sin83sin23cos(8323)cos60.7若cos()，cos()，则tantan.答案解析cos()coscossinsin，cos()coscossinsin.则得coscos，sinsin.tantan.8已知cos()cossin()sinm，且为第三象限角，则sin.答案解析cos()cossin()sincos()m，即cosm.又为第三象限角，sin.9设A，B为锐角ABC的两个内角，向量a(2cosA，2sinA)，b(3cosB,3sinB)若a，b的夹角的弧度数为，则AB.答案解析coscosAcosBsinAsinBcos(AB)又AB，AB.10已知sin，则cos的值为答案11已知cos，cos()，2，则cos.答案1解析由条件知sin，sin()，coscos()coscos()sinsin()1.二、解答题12已知，均为锐角，且sin，cos，求的值解，cos，sin.sinsin，cos()coscossinsin，.13已知cos(2)，sin(2)，且，0，求cos()解因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2，所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以02，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)0.三、探究与拓展14已知sinsinsin0，coscoscos0，则cos()的值是答案解析sinsinsin，coscoscos，2222(sinsincoscos)1cos().15如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求cos和sin；(2)在(1)的条件下，求cos()的值解(1)OA1，OB1，且点A，B的纵坐标分别为，sin ，sin ，cos .(2)为钝角，由(1)知cos ，cos()cos cos sin sin .