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课时分层作业(十)抛物线的标准方程(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1抛物线y2x2的焦点坐标是_解析抛物线y2x2的标准方程是x2y，2p，p，焦点坐标是.答案2抛物线y210x的焦点到准线的距离是_解析2p10，p5，焦点到准线的距离为5.答案53以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且准线经过P(2，4)的抛物线方程为_解析若抛物线的准线为x2，则抛物线的方程为y28x；若抛物线的准线为y4，则抛物线的方程为x216y.答案y28x或x216y4已知抛物线y4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是_. 【导学号：71392094】解析设M(x0，y0)，把抛物线y4x2化为标准方程，得x2y.则其准线方程为y，由抛物线的定义，可知y01，得y0，代入抛物线的方程，得x，解得x0，则M的坐标为.答案5抛物线x22y上的点M到其焦点F的距离MF，则点M的坐标是_解析设点M(x，y)，抛物线准线为y，由抛物线定义， y，y2，所以x22y4，x2，所以点M的坐标为(2,2)答案(2,2)6已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AFBF3，则线段AB的中点到y轴的距离为_解析如图，由抛物线的定义知，AMBNAFBF3，CD，所以中点C的横坐标为，即C到y轴的距离为.答案7若动圆与圆(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程为_解析设动圆半径为r，动圆圆心O(x，y)到点(2,0)的距离为r1.O到直线x1的距离为r，O到(2,0)的距离与O到直线x2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y28x.答案y28x8若抛物线y28x的焦点恰好是双曲线1(a0)的右焦点，则实数a的值为_解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，则双曲线1(a0)的右焦点也为(2,0)，从而a234，解得a1.因为a0，故舍去a1，所以a1.答案1二、解答题9已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值. 【导学号：71392095】解法一：由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点为F，因为点M在抛物线上，且MF5，所以有解得或故所求的抛物线方程为y28x，m的值为2.法二：由题可设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点为F，准线方程为x，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，则35，p4，抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，m224，m2.10求焦点在x轴上，且焦点在双曲线1上的抛物线的标准方程解由题意可设抛物线方程为y22mx(m0)，则焦点为.焦点在双曲线1上，1，求得m4，所求抛物线方程为y28x或y28x.能力提升练1设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是_解析圆心到抛物线准线的距离为p4，根据已知，只要FM4即可根据抛物线定义，FMy02，由y024，解得y02.故y0的取值范围是(2，)答案(2，)2设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为_解析因为抛物线y2ax(a0)的焦点F的坐标为，所以直线l的方程为y2，它与y轴的交点为A，则OAF的面积为4，解得a8，故抛物线的方程为y28x或y28x.答案y28x或y28x3已知点P是抛物线y24x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x3)2(y3)21上的一动点Q的距离为d2，则d1d2的最小值是_解析由抛物线的定义得P到抛物线准线的距离为d1PF，d1d2的最小值即为抛物线的焦点F(1,0)到圆(x3)2(y3)21上的一动点Q的距离的最小值，最小值为F与圆心的距离减半径，即为4，故填4.答案44如图241所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米图241(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米) 【导学号：71392096】解如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以p.所以该抛物线的方程为x25y.(2)设车辆高h，则DBh0.5，故D(3.5，h6.5)，代入方程x25y，解得h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.
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