高等数学-概率1.4条件概率与乘法法则.ppt

第一章第四节条件概率与乘法法则 在解决许多概率问题时 往往需要求在有某些附加信息 条件 下事件发生的概率 一 条件概率 1 条件概率的概念 通常记事件B发生的条件下 事件A发生的概率为P A B 一般情况下 P A B P A P A 1 6 例如 掷一颗均匀骰子 A 掷出2点 B 掷出偶数点 P A B 已知事件B发生 此时试验所有可能结果构成的集合就是B 于是 P A B 1 3 B中共有3个元素 每个元素出现是等可能的 且其中只有1个 2点 在集合A中 容易看到 P A B P A 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取一件 记 B 取到正品 A 取到一等品 P A B P A 3 10 B 取到正品 P A B 3 7 本例中 计算P A 时 依据前提条件是10件产品中一等品的比例 A 取到一等品 计算P A B 时 这个前提条件未变 只是加上 事件B已发生 这个新的条件 这好象给了我们一个 情报 使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题 若事件B已发生 则为使A也发生 试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 即此点必属于AB 由于我们已经知道B已发生 故B就变成了新的样本空间 于是就有 1 设A B是两个事件 且P B 0 则称 1 2 条件概率的定义 为在事件B发生条件下 事件A的条件概率 3 条件概率的性质 设B是一事件 且P B 0 则 1 对任一事件A 0 P A B 1 2 P B 1 而且 前面对概率所证明的一切性质 也都适用于条件概率 例如 对任意事件A1和A2 有P A1 A2 B P A1 B P A2 B A1A2 B 等 其他性质请同学们自行写出 2 从加入条件后改变了的情况去算 4 条件概率的计算 1 用定义计算 P B 0 P A B B发生后的缩减样本空间所含样本点总数 在缩减样本空间中A所含样本点个数 例1 掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出6点 问 掷出点数之和不小于10 的概率是多少 解法1 解法2 解 设A 掷出点数之和不小于10 B 第一颗掷出6点 应用定义 在B发生后的缩减样本空间中计算 例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0 8 活到25年以上的概率为0 4 问现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的概率是多少 解 设A 能活20年以上 B 能活25年以 依题意 P A 0 8 P B 0 4 所求为P B A 条件概率P A B 与P A 的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 设A是随机试验的一个事件 则P A 是在该试验条件下事件A发生的可能性大小 P A 与P A B 的区别在于两者发生的条件不同 它们是两个不同的概念 在数值上一般也不同 而条件概率P A B 是在原条件下又添加 B发生 这个条件时A发生的可能性大小 即P A B 仍是概率 由条件概率的定义 即若P B 0 则P AB P B P A B 2 而P AB P BA 二 乘法公式 在已知P B P A B 时 可反解出P AB 将A B的位置对调 有 故P A 0 则P AB P A P B A 3 若P A 0 则P BA P A P B A 2 和 3 式都称为乘法公式 利用它们可计算两个事件同时发生的概率 例3 甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300件是乙厂生产的 而在这300个零件中 有189个是标准件 现从这1000个零件中任取一个 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少 所求为P AB 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 300个乙厂生产 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 所求为P AB 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 若改为 发现它是乙厂生产的 问它是标准件的概率是多少 求的是P A B B发生 在P AB 中作为结果 在P A B 中作为条件 当P A1A2 An 1 0时 有P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1A2 An 1 推广到多个事件的乘法公式 解 例4 一批灯泡共100只 其中10只是次品 其余为正品 作不放回抽取 每次取一只 求 第三次才取到正品的概率 设Ai 第i次取到正品 i 1 2 3 A 第三次才取到正品 则 解 例5 袋中有同型号小球b r个 其中b个是黑球 r个是红球 每次从袋中任取一球 观其颜色后放回 并再放入同颜色 同型号的小球c个 若B 第一 第三次取到红球 第二次取到黑球 求P B 设Ai 第i次取到红球 i 1 2 3 则 一场精彩的足球赛将要举行 但5个球迷只搞到一张球票 但大家都想去 没办法 只好用抽签的方法来确定球票的归属 5张同样的卡片 只有一张上写有 球票 其余的什么也没写 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗 后抽的人比先抽的人吃亏吗 请回答 到底谁说的对呢 让我们用概率论的知识来计算一下 每个人抽到 入场券 的概率到底有多大 大家不必争 你们一个一个按次序来 谁抽到 入场券 的机会都一样大 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大 我们用Ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 P A1 1 5 P 4 5 第1个人抽到入场券的概率是1 5 也就是说 则表示 第i个人未抽到入场券 因为若第2个人抽到入场券时 第1个人肯定没抽到 也就是要想第2个人抽到入场券 必须第1个人未抽到 由于 由乘法公式 得 计算得 P A2 4 5 1 4 1 5 这就是有关抽签顺序问题的正确解答 同理 第3个人要抽到 入场券 必须第1 第2个人都没有抽到 因此 4 5 3 4 1 3 1 5 继续做下去就会发现 每个人抽到 入场券 的概率都是1 5 抽签不必争先恐后 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用 综合运用 加法公式P A B P A P B A B互斥 乘法公式P AB P A P B A P A 0 三 全概率公式和贝叶斯公式 例6 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 解 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 即B A1B A2B A3B 且A1B A2B A3B两两互斥 B发生总是伴随着A1 A2 A3之一同时发生 P B P A1B P A2B P A3B 运用加法公式得 1 2 3 将此例中所用的方法推广到一般的情形 就得到在概率计算中常用的全概率公式 对求和中的每一项运用乘法公式得 P B P A1B P A2B P A3B 代入数据计算得 P B 8 15 设A1 A2 An是两两互斥的事件 且P Ai 0 i 1 2 n 另有一事件B 它总是与A1 A2 An之一同时发生 则 全概率公式 设S为随机试验的样本空间 A1 A2 An是两两互斥的事件 且有P Ai 0 i 1 2 n 称满足上述条件的A1 A2 An为完备事件组 则对任一事件B 有 在一些教科书中 常将全概率公式叙述为 在较复杂情况下 直接计算P B 不容易 但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai 使B伴随着某个Ai的出现而出现 且每个容易计算 可用所有之和计算P B 由上式不难看出 全部 概率P B 可分成许多 部分 概率之和 它的理论和实用意义在于 某一事件B的发生有各种可能的原因Ai i 1 2 n 如果B是由原因Ai所引起 则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生 故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和 即全概率公式 P BAi P Ai P B Ai 全概率公式 我们还可以从另一个角度去理解 由此可以形象地把全概率公式看成是 由原因推结果 每个原因对结果的发生有一定的 作用 即结果发生的可能性与各种原因的 作用 大小有关 全概率公式表达了因果之间的关系 诸Ai是原因B是结果 例7 甲 乙 丙三人同时对飞机进行射击 三人击中的概率分别为0 4 0 5 0 7 飞机被一人击中而击落的概率为0 2 被两人击中而击落的概率为0 6 若三人都击中 飞机必定被击落 求飞机被击落的概率 设B 飞机被击落 Ai 飞机被i人击中 i 1 2 3 由全概率公式 得P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 则B A1B A2B A3B 解 可求得 为求P Ai 设Hi 飞机被第i人击中 i 1 2 3 将数据代入计算 得P A1 0 36 P A2 0 41 P A3 0 14 于是 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 458 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 即飞机被击落的概率为0 458 该球取自哪号箱的可能性大些 实际中还有下面一类问题 已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 求各原因发生可能性大小 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 或者问 接下来我们介绍解决这类问题的 贝叶斯公式 有三个箱子 编号分别为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红球3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 1 1红4白 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 求P A1 B 运用全概率公式计算P B 将这里得到的公式一般化 就得到 贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件B已发生的条件下 寻找导致B发生的每个原因的概率 贝叶斯公式 设A1 A2 An是两两互斥的事件 且P Ai 0 i 1 2 n 另有一事件B 它总是与A1 A2 An之一同时发生 则 贝叶斯公式在实际中有很多应用 它可以帮助人们确定某结果 事件B 发生的最可能原因 例8 某一地区患有癌症的人占0 005 患者对一种试验反应是阳性的概率为0 95 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试验反应是阳性 问此人是癌症患者的概率有多大 则表示 抽查的人不患癌症 求解如下 设C 抽查的人患有癌症 A 试验结果是阳性 求P C A 已知 P C 0 005 P A C 0 95 现在来分析一下结果的意义 由贝叶斯公式 得 代入数据 计算得P C A 0 1066 2 检出阳性是否一定患有癌症 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率P C 0 005 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息 此人是患者的概率为P C A 0 1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 从0 005增加到0 1066 将近增加约21倍 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 2 检出阳性是否一定患有癌症 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为P C A 0 1066 即使你检出阳性 尚可不必过早下结论你有癌症 这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时医生常要通过再试验来确认 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的先验概率和后验概率 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道B发生 人们对诸事件发生可能性大小P Ai B 有了新的估计 8支步枪中有5支已校准过 3支未校准 一名射手用校准过的枪射击时 中靶的概率为0 8 用未校准的枪射击时 中靶的概率为0 3 现从8支枪中任取一支用于射击 结果中靶 求 所用的枪是校准过的概率 设A 射击时中靶 B1 使用的枪校准过 B2 使用的枪未校准 则B1 B2是 一个划分 由贝叶斯公式 解 例9 解 例10 一批同型号的螺钉由编号为I II III的三台机器共同生产 各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35 40 25 各台机器生产的螺钉的次品率分别为3 2 和1 现从该批螺钉中抽到一颗次品 求 这颗螺钉由I II III号机器生产的概率各为多少 设A 螺钉是次品 B1 螺钉由1号机器生产 B2 螺钉由2号机器生产 B3 螺钉由3号机器生产 则 由贝叶斯公式 得 同理 P B1 0 35 P B2 0 40 P B3 0 25 P A B1 0 03 P A B2 0 02 P A B3 0 01 小结 本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式 然后利用条件概率公式得到了乘法公式 全概率公式及贝叶斯公式 通过多个实例 从各方面分析 讲解了上述公式理论意义 实际意义及应用范围 但这还远远不够 为达到正确理解 熟练运用这些公式的目的 我们还需要做一定数量的习题 并从中揣摩出这些公式的内涵