2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第5章第33讲向量的数量积.ppt

第五章 平面向量与复数 向量的数量积 第33讲 向量的数量积的概念 例1 设a b c是任意的非零平面向量 且相互不共线 则下列命题 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b不与c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中是真命题的有 解析 对于 b与c是不共线的两个非零向量 且a b与c a不能都为零 故 错误 对于 由三角形的两边之差小于第三边知 正确 对于 由向量的数量积的运算法则 得 b c a c a b c b c a c c a b c 0 所以 b c a c a b c 故 错误 对于 由于 3a 2b 3a 2b 9a2 4b2 9 a 2 4 b 2 故 正确 答案 点评 判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义 向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律 例如 由a b 0并不能得出a 0或b 0 特别是向量的数量积不满足结合律 即 a b c a b c 变式练习1 下列命题中正确的个数是 若a b 0 则a 0或b 0 a b c a b c 若a b b c b 0 则a c a b b a 若a与b不共线 则a与b的夹角为锐角 解析 当a 0时 由a b 0 b 0 且对任意与a垂直的非零向量b 都有a b 0 故 错 a b c表示一个与c共线的向量 而a b c 表示一个与a共线的向量 而c与a通常并不是共线的 故 错 设a与b的夹角为 b与c的夹角为 则由a b b c 得 a cos c cos a c 故 错 由于向量数量积满足交换律 故 正确 向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角 可为 0 180 范围内的角 故 错 答案 1 向量的夹角 点评 数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法 1 题中通过垂直的充要条件 得到 a b 这是本题的突破口 在等式2a b b2中 不能 约去b 得出 2a b 注意这一点与实数乘法不同 2 题中 向量的夹角范围是 0 并且注意a2 a 2及夹角公式的应用 同时 a与b的夹角是钝角 可以得到a b 0 但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件 因为a与b的夹角是180 时也有a b 0 因此第二问要排除掉a与b反向的情形 想一想 若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢 向量的平行与垂直 例3 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a b 2c 求tan 的值 2 求 b c 的取值范围 3 若tan tan 16 求证a b 解析 1 b 2c sin 2cos 4cos 8sin a b 2c 4cos sin 2cos sin 4cos 8sin 4sin 8cos 0 所以tan 2 点评 向量的平行与垂直问题是高考的热门话题 要牢记向量平行与垂直的充要条件 根据已知条件灵活运用 综合应用 点评 本例是向量 函数 导数应用的典型例子 第 2 问中两种解法是解决向量垂直的常见方法 方法1是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标 再利用向量垂直的充要条件 方法2是直接利用向量垂直的充要条件 其过程要用到向量的数量积公式及求模公式 达到同样的求解目的 但运算过程大大简化 值得注意 第 2 问中求函数的单调区间运用的是求导的方法 这是新旧知识交汇点处的综合运用 0 5 1 两向量的夹角 如图 AOB 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 当 90 时 a与b垂直 记作a b 2 向量的数量积的几何意义 对于a b a b cos 其中 b cos 叫向量b在a方向上的射影 为a b的夹角 向量的数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上的射影 b cos 的乘积 当 为锐角时 值为正 当 为钝角时 值为负 当 为直角时 值为零 当 为零时 值为 a b 当 为180 时 值为 a b 4 运用平面向量的数量积应该注意以下几个方面 1 两个向量的夹角的取值范围为 0 180 2 两向量的数量积是一个数 而不是一个向量 并且数量积是向量间的一种乘法 与以前所学的乘法是有区别的 书写时要区分开 3 当a 0时 a b 0不能推出b一定是零向量 因为当a b a 0 时 a b 0 4 用向量的数量积可解决有关长度 角度和垂直的问题 5 对于实数ab bc b 0 a c 但对于向量 由a b b c不能得到a c 6 向量的数量积只适合交换律 加法分配律 数乘向量结合律 不适合乘法结合律 即 a b c不一定等于a b c 因 a b c表示与c共线的向量 而a b c 表示与a共线的向量