2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的减法学案 北师大版必修4.doc

2.2向量的减法内容要求1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义(重点).2.掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量(难点)知识点1相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)(a)a；(3)a(a)(a)a0；(4)若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1).()(2)aa0.()(3)零向量的相反向量仍是零向量()知识点2向量的减法(1)定义，向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算，叫作向量的减法(2)几何意义：在平面内任取一点O，作a，b，则向量ab，如图所示(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量【预习评价】1在ABC中，a，b，则()AabBbaCabDab答案A2.可以写成；.其中正确的是()ABCD答案D题型一向量减法法则的应用【例1】如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量ab，cd.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，c，d.则ab，cd.规律方法利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a，b，如图所示，作a，b，利用向量减法的三角形法则可得ab，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出ab.如图所示，作a，b，b，则a(b)，即ab.【训练1】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.题型二向量减法的运算【例2】化简下列式子：(1)；(2)()()解(1)原式0.(2)原式()()0.规律方法化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点特别提醒利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧【训练2】化简：(1)()()；(2)()()解(1)()().(2)()()()0.方向1用已知向量表示未知向量【例31】已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，试用a，b，c表示.解方法一如图所示：aa()acb.方法二()0()a(bc)abc.方向2求向量的模【例32】已知非零向量a、b满足|a|1，|b|1，且|ab|4，求|ab|的值解设a，b，则|ab|.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则|ab|.(1)2(1)242，|2|2|2，OAOB.平行四边形OACB是矩形矩形的对角线相等，|4，即|ab|4.方向3判断形状【例33】设平面内四边形ABCD及任一点O，a，b，c，d，若acbd且|ab|ad|.试判断四边形ABCD的形状解由acbd得abdc，即，于是AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形又|ab|ad|，从而|，|，四边形ABCD为菱形规律方法1.关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决2用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果.课堂达标1化简的结果等于()A. B. C. D.答案B2如图所示，在ABCD中，a，b，则用a，b表示向量和分别是()Aab和ab Bab和baCab和ba Dba和ba解析由向量的加法、减法得，ab，ba.故选B.答案B3若菱形ABCD的边长为2，则|_.解析2.答案24已知a，b，若|12，|5，且AOB90，则|ab|_.解析|12，|5，AOB90，|2|2|2，|13.a，b，ab，|ab|13.答案135如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设a，b，c，用a，b，c表示.解cba.课堂小结1向量减法是向量加法的逆运算即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量如aba(b)2在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，区分ab与ba.3以向量a，b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为ab，ba.基础过关1在平行四边形ABCD中，等于()A. B. C. D.解析.答案A2下列等式中，正确的个数为()0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0.A3B4C5D6解析根据相反向量的概念知正确，所以正确的个数为5.故选C.答案C3在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.0 B.C. D.0解析，0，A正确；，B正确；，C错误；，0，D正确答案C4已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则可用、表示为_解析22()，2.答案25若向量a，b满足|a|8，|b|12，则|ab|的最小值为_，|ab|的最大值为_解析当a与b方向相反时，|ab|取得最小值，其值为1284；这时|ab|取得最大值，其值为12820.答案4206若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab所在直线的夹角解设a，b，则ab，|a|b|ab|，|，OAB是等边三角形，BOA60.ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA.a与ab所在直线的夹角为30.7.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，a，b，c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)abc；(2)abc.解(1)由已知得abc，所以延长AC到E，使|.则abc，且|2.所以|abc|2.(2)作，连接CF，则，而ab.所以abc，且|2，所以|abc|2.能力提升8.如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0解析()0.答案A9在平行四边形ABCD中，|，则有()A.0 B.0或0CABCD是矩形DABCD是菱形解析与分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|，ABCD是矩形答案C10边长为1的正ABC中，|的值为_解析如图所示，延长CB到点D，使BD1，连接AD，则.在ABD中，ABBD1，ABD120，易求AD，|.答案11已知向量a，b满足|a|1，|b|2，|ab|2，求|ab|的值解在平面内任取一点A，作a，b，利用平行四边形法则，得ab，ab.由题意知：|2，|1.如图所示，过点B作BEAD于点E，过点C作CFAB交AB的延长线于点F.ABBD2，AEEDAD.在ABE中，cosEAB，在CBF中，CBFDAB，cosCBF，BFBCcosCBF1，CF，AFABBF.在RtAFC中，AC，|ab|.12在平行四边形ABCD中，a，b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？解由向量加法的平行四边形法则，得ab，同样，由向量的减法知ab.则有：当a，b满足|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|ab|ab|且|a|b|时，四边形ABCD为正方形13(选做题)如图，O是ABC的外心，H为垂心，求证：.证明作圆的直径BD，连接DA、DC，则，ADAB，DCBC，连接AH、CH，因为H是ABC的垂心，故有AHBC，CHAB.CHAD，AHCD，则四边形AHCD为平行四边形，.