资源描述
课时分层作业(二十) 空间向量与空间角(建议用时：40分钟)基础达标练一、选择题1若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为()A30B150C30或150D以上均不对Al1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A2已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b，则二面角l的大小为()A BC或 D或C由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角l的大小为或，故选C3.如图3227，空间正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()图3227A B C DD以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，则，cos，0.，.4已知在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()【导学号：46342179】A BCDB作AO平面BCD于点O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设AB2，则O(0,0,0)，A，C，E，cos，.CE与平面BCD的夹角的正弦值为.5如图3228所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()图3228A B C DD如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0,0,0)，B，F，C，易知为平面BDF的一个法向量，由，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.故二面角CBFD的正切值为.二、填空题6若直线l的方向向量a(2,3,1)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_由题意，得直线l与平面所成角的正弦值为.7已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F，所以，则即取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .8如图3229，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_. 【导学号：46342180】图3229取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC1，则A，B，C，D，所以，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则，所以，取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.三、解答题9.如图3230，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M分别为CE，AB的中点图3230(1)求异面直角AB与CE所成角的大小；(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值解(1)DBBA，平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，DB平面ABCBDAE，EA平面ABC如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系ACBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，(4,4,0)，(4,0,4)cos，异面直线AB与CE所成角的大小为.(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，(0,4,2)，(2,4,0)，(2,2,2)设平面ODM的法向量为n(x，y，z)，则由，可得，令x2，则y1，z1，n(2,1,1)设直线CD与平面ODM所成的角为，则sin |cosn，|，直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.10如图3231，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.图3231(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【导学号：46342181】解(1)证明：设AC，BD交于点E，连接ME，因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点(2)如图，取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为四边形ABCD是正方形，所以OEAD如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面BDP的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z.于是n(1,1，)平面PAD的法向量为p(0,1,0)，所以cosn，p.由题意知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为.(3)由题意知M，C(2,4,0)，.设直线MC与平面BDP所成角为，则sin |cosn，|，所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.能力提升练1.如图3232，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()图3232A BCDA以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2，(2，2,2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为.2如图3233，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角DABE为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos ，则()图3233A1 B C DC不妨设BC1，AB，则.记a，b，c，则ba，cb，根据题意，|a|c|1，|b|，abbcca0，b22，而|，|，|cos，|，得.故选C3在空间中，已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.平面xOy的法向量为n(0,0,1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u.而cosn，u，又a0，a.4如图3234，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD且PDAD1，AB2，点E是线段AB上一点，当二面角PECD为时，AE_. 【导学号：46342182】图32342设AEa(0a2)，以点D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则(1，a，1)，(0,2，1)，设平面PEC的法向量为m(x，y，z)，则，即，令y1，可得x2a，z2，则m(2a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为(0,0,1)，则|cosm，|，解得a2或2(舍去)，所以AE2.5如图3235，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD图3235(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值解(1)证明：由题设可得ABDCBD，从而ADCD又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又因为ABC是正三角形，故BOAC，所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E，故(1,0,1)，(2,0,0)，.设n(x，y，z)是平面DAE的法向量，则即可取n.设m是平面AEC的法向量，则同理可取m(0，1，)，则cosn，m.所以二面角DAEC的余弦值为.
展开阅读全文