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专题05 二次函数与幂函数一、 考纲要求:1. (1)了解幂函数的概念；(2)结合函数yx，yx2，yx3，y=x12，y的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题二、概念掌握及解题上的注意点： 1.幂函数的形式是yx（R），其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.2.若幂函数yx(R)是偶函数，则必为偶数.当是分数时，一般先将其化为根式，再判断.3.若幂函数yx在(0，)上单调递增，则0，若在(0，)上单调递减，则0.4.用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：5.二次函数的最值问题的类型及求解方法( 1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动.(2)求解方法：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思想求解.6.二次函数中恒成立问题的求解思路由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x) )afxmax，af(x)afxmin二、 高考考题题例分析：例1(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()AbacBabcCbca DcabA解析： a24，b3，c255.yx在第一象限内为增函数，又543，cab.例2.【2015高考浙江，理18】已知函数，记是 在区间上的最大值.（1） 证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.详细解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，当时，由，得，即，当时，由，得，即，综上，当时，；（2）由得，故，由，得，当，时，且在上的最大值为，即，的最大值为.【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.逻辑推理能力与运算求解能力，在复习时应予以关注。二次函数与幂函数练习题（时间90分钟，满分100分）一、选择题（每题5分，共60分）1yx2，y，y4x2，yx51，y(x1)2，yx，yax(a1)，上述函数是幂函数的有()A0个B1个C2个 D3个C解析：只有yx2，yx是幂函数，故选C2已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A BC DC解析：由题意知即得a.3函数y的图象大致是()4.函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1 B2C3 D1或2B解析：由题知解得m2.故选B.5函数f(x)4x2mx5，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为() A1B25C17D-7B解析：函数f(x)4x2mx5图象的对称轴为直线xm8，由函数f(x)的增减区间可知m82，m16，即f(x)4x216x5，f(1)416525.6已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0Ba0,4ab0Ca0,2ab0Da0,2ab07已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是()D解析：由abc0，abc知a0，c0，则0，函数图象与x轴交点的横坐标之积为负数，即两个交点分别位于x轴的正半轴和负半轴，故排除B，C.又f(0)c0，也排除A.8若函数f(x)x2+mx+m在区间0,2上的最大值为1，则实数m等于()A1B1 C2D2A解析函数f(x)x2+mx+m的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得f(0)m,f(2)4+3m，m4+3m,m=1,或m4+3m,4+3m=1,m=-19.设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()D解析：由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误10.若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为()A3,3 B1,3C3,3 D1，3,311函数f(x)(m2m1)x是幂函数，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，满足0，若a，bR，且ab0，ab0，则f(a)f(b)的值()A恒大于0B恒小于0C等于0D无法判断A解析：f(x)(m2m1)x是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，指数4292512 0150，满足题意当m1时，指数4(1)9(1)5140，不满足题意，f(x)x2 015.幂函数f(x)x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数又a，bR，且ab0，ab，又ab0，不妨设b0，则ab0，f(a)f(b)0，又f(b)f(b)，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.故选A.12已知函数f(x)x2x，(0，)，且sin ，tan ，cos ，则()Af()f()f()Bf()f()f()Cf()f()f()Df()f()f()二、填空题（每题5分，共20分）13已知点(，2)在幂函数yf(x)的图象上，点在幂函数yg(x)的图象上，若f(x)g(x)，则x_. 1解析：由题意，设f(x)x，则2()，得2，设g(x)x，则()，得2.由f(x)g(x)，得x2x2，解得x1.14已知二次函数yx22kx32k，则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为_yx22x5解析：yx22kx32k(xk)2k22k3，所以图象的顶点坐标为(k，k22k3)因为k22k3(k1)24，所以当k1时，顶点位置最高此时抛物线的解析式为yx22x5.15已知函数yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_1解析：当x0时，x0，f(x)f(x)(x1)2.x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1，mn的最小值是1.16已知函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是_. 7，)解析：函数f(x)x2(a1)x5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴为x或与直线x重合或位于直线x的左侧，即应有，解得a2，所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.三、解答题（每题10分，共20分）17已知幂函数f(x)x (mN*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围. 18已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围解析：(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)2知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，即k的取值范围是(，1)
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