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大题分层练(四)三角、数列、概率统计、立体几何(D组)1.已知函数f(x)=3sin(x+)+2sin2x+2-1(0,0)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为2.(1)当x-2,4时,求f(x)的单调递减区间.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移6个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x-12,6时,求函数g(x)的值域.【解析】(1)由题知f(x)=3sin(x+)-cos(x+)=2sinx+-6,因为相邻两对称轴的距离为2,所以T=2=22=,=2.又因为f(x)为奇函数,所以-6=k,=6+k,(kZ),0,所以=6,即f(x)=2sin 2x,要使f(x)单调递减,需-2x-2,-27.879,所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为市民参加广场活动的项目与性别有关.(2)由表可知,该市市民跳广场舞的男女性别比是13,所以抽取的四人中只有1名男性,其余3名是女性,从中任选两人的所有结果是:(男,女1),(男,女2),(男,女3),(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3),其中是一男一女的有三种.设“这两名管理员是一男一女”为事件A,则P(A)=36=12.所以这两名管理员是一男一女的概率为12.4.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点.(1)若BC=BB1,求证:BC1平面AEG.(2)若D为AB的中点,CA1D=45,四棱锥C-A1B1BD的体积为62,求三棱锥F-AEC的表面积.【解析】(1)如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1,又因为E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AEBC,又BCBB1=B,所以AE平面B1BCC1,则AEBC1,连接B1C,因为BC=BB1,易知四边形B1BCC1为正方形,则BC1B1C,又GEB1C,则BC1GE,因为GEAE=E,所以BC1平面AEG.(2)因为ABC是正三角形,所以CDAB,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1,所以CD平面A1ABB1,所以CDA1D.设AB=a,由题意,CA1D=45,所以CD=A1D=32a,所以AA1=22a,所以VC-A1B1BD=1332a1232a22a=62,所以a=2,所以三棱锥F-AEC的表面积为S=12122+12222+12324+1+1213=32+32.
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