2.机械工程控制基础(系统数学模型)

第二章第二章 系统数学模型系统数学模型一、数学模型的基本概念一、数学模型的基本概念1 1、数学模型、数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。零）下描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。的微分方程。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型2、建立数学模型的方法建立数学模型的方法 解析法解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为法也称为系统辨识系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。实验法实验法 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型3 3、数学模型的形式、数学模型的形式 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性频率域：频率特性 二、系统的微分方程二、系统的微分方程1 1、定义：时域中描述系统动态特性的数学模型。、定义：时域中描述系统动态特性的数学模型。2、建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；确定系统和各元件的输入、输出量；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；部件的动态微分方程；消去中间变量，得到描述元件或系统输入、消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；输出变量之间关系的微分方程；标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列3、控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 机械系统机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：质量、弹簧和阻尼三个要素：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 质量质量mf fm m(t t)参考点参考点x x (t t)v v (t t)弹簧弹簧K Kf fK K(t t)f fK K(t t)x x1 1(t t)v v1 1(t t)x x2 2(t t)v v2 2(t t)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 阻尼阻尼C Cf fC C(t t)f fC C(t t)x x1 1(t t)v v1 1(t t)x x2 2(t t)v v2 2(t t)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 机械平移系统机械平移系统m mm mf fi i(t t)K KC Cx xo o(t t)f fi i(t t)x xo o(t t)0 00 0f fm m(t t)f fK K(t t)机械平移系统及其力学模型机械平移系统及其力学模型f fC C(t t)静止（平衡）工作点作为静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响零点，以消除重力的影响第二章第二章 系统数学模型系统数学模型式中，式中，m m、C C、K K通常均为常数，故机械平移系统可以通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中阶次等于系统中独立独立储能元件（惯性质量、弹簧）储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。的数量。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统x xo o(t t)0 0f fi i(t t)K KC C弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统系统运动方程为一阶常系数系统运动方程为一阶常系数微分方程。微分方程。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 机械旋转系统机械旋转系统K K i i(t t)o o(t t)0 00 0T TK K(t t)T TC C(t t)C C粘性液体粘性液体齿轮齿轮J JJ J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；K K 扭转刚度系数；扭转刚度系数；C C 粘性阻尼系数粘性阻尼系数柔性轴柔性轴第二章第二章 系统数学模型系统数学模型第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 电气系统电气系统 电阻电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。R Ri i(t t)u u(t t)电容电容C Ci i(t t)u u(t t)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 电感电感L Li i(t t)u u(t t)q R-L-C R-L-C无源电路网络无源电路网络L LR RC Cu ui i(t t)u uo o(t t)i i(t t)R-L-CR-L-C无源电路网络无源电路网络第二章第二章 系统数学模型系统数学模型一般一般R R、L L、C C均为常数，上式为二阶常系数微均为常数，上式为二阶常系数微分方程。分方程。若若L L=0=0，则系统简化为：，则系统简化为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 有源电网络有源电网络+CR Ri i1 1(t t)u ui i(t t)u uo o(t t)i i2 2(t t)a a即：即：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例：列写下图所示机械系统的微分方程例：列写下图所示机械系统的微分方程解：解：1)1)明确系统的输入与输出明确系统的输入与输出输入为输入为f(t),f(t),输出为输出为x(t)x(t)2)2)列写微分方程，受力分列写微分方程，受力分析析 3)3)整理可得：整理可得：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 小结小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）究（信息方法）。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；中进行实验模拟的基础；通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的中所包含的独立独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。内部就多一层能量（信息）的交换。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。统的结构及其参数。线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为常数，则为线性定常系统线性定常系统；如果方程的系数是时间；如果方程的系数是时间t t的的函数，则为函数，则为线性时变系统线性时变系统；q 线性系统线性系统线性线性是指系统满足是指系统满足叠加原理叠加原理，即：，即：可加性：可加性：齐次性：齐次性：或：或：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型叠加叠加 液体系统液体系统节流阀节流阀节流阀节流阀q qi i(t t)q qo o(t t)H H(t t)液位系统液位系统设液体不可压缩，设液体不可压缩，通过节流阀的液流通过节流阀的液流是湍流。是湍流。A A：箱体截面积；：箱体截面积；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。非线性系统。：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，定的系数，通流面积不变时，为常数。为常数。q 线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型式中，式中，a a1 1，a a2 2，a an n和和b b0 0，b b1 1，b bm m为由为由系统结构参数决定的实常数，系统结构参数决定的实常数，m mn n。三、非线性数学模型的线性化三、非线性数学模型的线性化1 1、线性化问题的提出线性化问题的提出 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。微分方程进行处理。非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型2 2、非线性数学模型的线性化、非线性数学模型的线性化 泰勒级数展开法泰勒级数展开法 函数函数y y=f f(x x)在其平衡点（在其平衡点（x x0 0,y y0 0）附近的泰勒级数展开式为：）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量略去含有高于一次的增量 x x=x x-x x0 0的项，则：的项，则：或：或：y y-y y0 0 =y y=K K x x，其中：，其中：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 上式即为非线性系统的线性化模型，称为上式即为非线性系统的线性化模型，称为增增量方程量方程。y y0 0=f f(x x0 0)称为系统的称为系统的静态方程静态方程；对多变量系统，如：对多变量系统，如：y y=f f(x x1 1,x x2 2)，同样可采用泰，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。勒级数展开获得线性化的增量方程。增量方程：增量方程：静态方程：静态方程：其中：其中：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 滑动线性化滑动线性化切线法切线法 0 0 x xy y=f f(x x)y y0 0 x x0 0 x x y y y y非线性关系线性化非线性关系线性化A A线性化增量增量方线性化增量增量方程为：程为：y y y y=x x tgtg 切线法是泰勒级数切线法是泰勒级数法的特例。法的特例。3 3、系统线性化微分方程的建立、系统线性化微分方程的建立 步骤步骤 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 确定系统各组成元件在平衡态的工作点；确定系统各组成元件在平衡态的工作点；q 列出各组成元件在工作点附近的增量方程；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；微分方程；实例：液位系统的线性化实例：液位系统的线性化 节流阀节流阀节流阀节流阀q qi i(t t)q qo o(t t)H H(t t)液位系统液位系统解：稳态时：解：稳态时：非线性项的泰勒展开为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型则：则：由于：由于：注意到：注意到：所以：所以：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型实际使用中，常略去增量符号而写成：实际使用中，常略去增量符号而写成：此时，上式中此时，上式中H H(t t)和和q qi i(t t)均为平衡工作点的增量。均为平衡工作点的增量。4 4、线性化处理的注意事项、线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；线性化是有条件的，必须注意线性化方程适线性化是有条件的，必须注意线性化方程适 用的工作范围；用的工作范围；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 某些典型的本质非线性，如继电器特性、间某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问题处理。为非线性问题处理。ininoutout0 0近似特近似特性曲线性曲线真实特性真实特性饱和非线性饱和非线性ininoutout0 0死区非线性死区非线性第二章第二章 系统数学模型系统数学模型ininoutout0 0继电器非线性继电器非线性ininoutout0 0间隙非线性间隙非线性例：液压伺服机构例：液压伺服机构解：解：1 1）明确系统）明确系统输入与输出：输入输入与输出：输入为为x,x,输出为输出为y y2)2)列写原始微分方列写原始微分方程：程：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型3)3)非线性函数线性化：非线性函数线性化：4)4)代入方程，整理可得：代入方程，整理可得：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型四、拉氏变换和拉氏反变换四、拉氏变换和拉氏反变换1 1、拉氏变换、拉氏变换 设函数设函数f f(t t)()(t t 0)0)在任一有限区间上分段连续，在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数且存在一正实常数，使得：，使得：则函数则函数f f(t t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：式中：s s=+j j（，均为实数）；均为实数）；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型称为称为拉普拉氏积分拉普拉氏积分；F F(s s)称为函数称为函数f f(t t)的拉普拉氏变换或的拉普拉氏变换或象函象函数数，它是一个复变函数；，它是一个复变函数；f f(t t)称为称为F F(s s)的的原函数原函数；L L为拉氏变换的符号。为拉氏变换的符号。2 2、拉氏反变换、拉氏反变换 L L1 1为拉氏反变换的符号。为拉氏反变换的符号。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型3 3、几种典型函数的拉氏变换、几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数单位阶跃函数1(1(t t)1 10 0t tf f(t t)单位阶跃函数单位阶跃函数第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 指数函数指数函数（a a为常数）为常数）指数函数指数函数0 0t tf f(t t)1 1第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 正弦函数与余弦函数正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数正弦及余弦函数1 10 0t tf f(t t)f f(t t)=sin)=sin t tf f(t t)=cos)=cos t t-1-1由欧拉公式，有：由欧拉公式，有：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型从而：从而：同理：同理：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 单位脉冲函数单位脉冲函数(t t)0 0t tf f(t t)单位脉冲函数单位脉冲函数 1 1 由洛必达法则：由洛必达法则：所以：所以：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 单位速度函数（斜坡函数）单位速度函数（斜坡函数）1 10 0t tf f(t t)单位速度函数单位速度函数1 1第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 单位加速度函数单位加速度函数单位加速度函数单位加速度函数0 0t tf f(t t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。表直接或通过一定的转换得到。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型4 4、拉氏变换积分下限的说明、拉氏变换积分下限的说明 在在某某些些情情况况下下，函函数数f f(t t)在在t t0 0处处有有一一个个脉脉冲冲函函数数。这这时时必必须须明明确确拉拉氏氏变变换换的的积积分分下下限限是是0 0还是还是0 0+，并相应记为：，并相应记为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型常用拉氏变换表常用拉氏变换表第二章第二章 系统数学模型系统数学模型5 5、拉氏变换的主要定理、拉氏变换的主要定理 叠加定理叠加定理 q 齐次性：齐次性：L L afaf(t t)=)=aLaL f f(t t)，a a为常数；为常数；q 叠加性：叠加性：L L afaf1 1(t t)+)+bfbf2 2(t t)=)=aLaL f f1 1(t t)+)+bLbL f f2 2(t t)a a，b b为常数；为常数；显然，拉氏变换为线性变换。显然，拉氏变换为线性变换。实微分定理实微分定理 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：由于证明：由于即：即：所以：所以：同样有：同样有：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型当当f f(t t)及其各阶导数在及其各阶导数在t t=0=0时刻的值均为零时时刻的值均为零时（零初始条件）：（零初始条件）：当当f f(t t)在在t t=0=0处具有间断点时，处具有间断点时，dfdf(t t)/)/dtdt在在t t=0=0处将处将包含一个脉冲函数。故若包含一个脉冲函数。故若f f(0(0+)f f(0(0)，则：，则：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 积分定理积分定理 当初始条件为零时：当初始条件为零时：若若f f(0(0+)f f(0(0)，则：，则：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：证明：同样：同样：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型当初始条件为零时：当初始条件为零时：延迟定理延迟定理 设当设当t t00时，时，f f(t t)=0)=0，则对任意，则对任意0 0，有：，有：函数函数 f f(t t-)0 0t tf f(t t)f f(t t)f f(t-t-)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 位移定理位移定理 例：例：初值定理初值定理 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：证明：初值定理建立了函数初值定理建立了函数f f(t t)在在t t=0=0+处的初值与处的初值与函数函数sFsF(s s)在在s s趋于无穷远处的终值间的关系。趋于无穷远处的终值间的关系。终值定理终值定理 若若sFsF(s s)的所有极点位于左半的所有极点位于左半s s平面，平面，即：即：存在。则：存在。则：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型证明：证明：又由于：又由于：即：即：终值定理说明终值定理说明f f(t t)稳定值与稳定值与sFsF(s s)在在s=0s=0时的初值相同。时的初值相同。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型7 7、求解拉氏反变换的部分分式法、求解拉氏反变换的部分分式法 部分分式法部分分式法 如果如果f f(t t)的拉氏变换的拉氏变换F F(s s)已分解成为下列分量：已分解成为下列分量：F F(s s)=)=F F1 1(s s)+)+F F2 2(s s)+)+F Fn n(s s)假定假定F F1 1(s s),),F F2 2(s s),),，F Fn n(s s)的拉氏反变换的拉氏反变换可以容易地求出，则：可以容易地求出，则：L L-1-1 F F(s s)=)=L L-1-1 F F1 1(s s)+)+L L-1-1 F F2 2(s s)+)+L L-1-1 F Fn n(s s)=f f1 1(t t)+)+f f2 2(t t)+)+f fn n(t t)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型在控制理论中，通常：在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将为了应用上述方法，将F F(s s)写成下面的形式：写成下面的形式：式中，式中，p p1 1，p p2 2，p pn n为方程为方程A A(s s)=0)=0的根的负值，称的根的负值，称为为F F(s s)的的极点极点；c ci i=b bi i /a a0 0 (i i=0,1,=0,1,m m)。此时，即可将此时，即可将F F(s s)展开成部分分式。展开成部分分式。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 F F(s s)只含有不同的实数极点只含有不同的实数极点式中，式中，A Ai i为常数，称为为常数，称为s s=-=-p pi i极点处的留数。极点处的留数。实际常如下计算：实际常如下计算：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例：求例：求的原函数。的原函数。解：解：即：即：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数f f（t t）解：解：其中：其中：p p1 10 0、p p2 2-2-2、p p3 3-5-5同理：同理：A A2 2=0.5=0.5、A A3 30.60.6其反变换为：其反变换为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 F F(s s)含有共轭复数极点含有共轭复数极点 设共轭复数根设共轭复数根p p1 1+j+j、p p2 2 jj第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数解：解：p p1 11+j21+j2、p p2 21 1j2j2第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 F F(s s)含有重极点含有重极点 设设F F(s s)存在存在r r重极点重极点-p p0 0，其余极点均不同，则：，其余极点均不同，则：式中，式中，A Ar r+1+1，A An n利用前面的方法求解。利用前面的方法求解。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型第二章第二章 系统数学模型系统数学模型注意到：注意到：所以：所以：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数解：解：B B（s s）0 0有有 p p1 11 1的三重根、的三重根、p p2 20 0的二重根，所以的二重根，所以F F（s s）可以展开为：可以展开为：从而：从而：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例：求例：求的原函数。的原函数。解：解：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型于是：于是：8 8、应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s s 的代数的代数方程；方程；q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换拉氏变换解解代代数数方方程程拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 实例实例设系统微分方程为：设系统微分方程为：若若x xi i (t t)=1(=1(t t)，初始条件分别为，初始条件分别为xxo o(0)(0)、x xo o(0)(0)，试求，试求x xo o(t)(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换：解：对微分方程左边进行拉氏变换：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型即：即：对方程右边进行拉氏变换：对方程右边进行拉氏变换：从而：从而：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型第二章第二章 系统数学模型系统数学模型所以：所以：查拉氏变换表得：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：当初始条件为零时：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。值就可得到微分方程的全解。q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用变换可以简单地用s sn n代替代替d dn n/dtdtn n得到。得到。由上述实例可见：由上述实例可见：q 系统响应可分为两部分：零状态响应和零输系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应入响应 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型五、传递函数五、传递函数1 1、传递函数的概念和定义、传递函数的概念和定义 传递函数传递函数 在在零初始条件零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。零初始条件：零初始条件：q t t00时，输入量及其各阶导数均为时，输入量及其各阶导数均为0 0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即作状态，即t t 0 0 时，输出量及其各阶导数也时，输出量及其各阶导数也均为均为0 0；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 传递函数求解示例传递函数求解示例 q 质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统的传递函数阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：按照定义，系统的传递函数为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q R R-L L-C C无源电路网络的传递函数无源电路网络的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 几点结论几点结论 传递函数是复数传递函数是复数s s域中的系统数学模型，域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。与系统的输入形式无关。若输入给定，则系统输出特性完全由传递若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数函数G G(s s)决定，即传递函数表征了系统内在决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。的固有动态特性。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入输出特性来描述系统的内部特性。输入输出特性来描述系统的内部特性。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 传递函数的一般形式传递函数的一般形式考虑线性定常系统考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：可得系统传递函数的一般形式：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型令：令：则：则：N N(s s)=0)=0称为系统的称为系统的特征方程特征方程，其根称为系统的，其根称为系统的特征特征根根。特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。N N(s s)中中s s的最的最高阶次等于系统的阶次。高阶次等于系统的阶次。2 2、特征方程、零点和极点、特征方程、零点和极点 特征方程特征方程式中，式中，K K称为系统的称为系统的放大系数放大系数或或增益增益。当当s s=0=0时：时：G G(0)=(0)=b bm m/a an n=K K第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此项都为零。因此K K 反应了系统处于静态时，输出反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。与输入的比值。零点和极点零点和极点 将将G G(s s)写成下面的形式：写成下面的形式：N N(s s)=)=a a0 0(s s-p p1 1)()(s s-p p2 2)(s s-p pn n)=0)=0的根的根s s=p pj j (j j=1,2,=1,2,n n)，称为传递函数的，称为传递函数的极点极点；决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性式中，式中，M M(s s)=)=b b0 0(s s-z z1 1)()(s s-z z2 2)(s s-z zm m)=0)=0的根的根s s=z zi i (i i=1,2,=1,2,m m)，称为传递函数的，称为传递函数的零点零点；影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性第二章第二章 系统数学模型系统数学模型系统传递函数的极点就是系统的特征根。零系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零、极点分布图零、极点分布图 将传递函数的零、将传递函数的零、极点表示在复平面极点表示在复平面上的图形称为传递上的图形称为传递函数的零、极点分函数的零、极点分布图。图中，零点布图。图中，零点用用“O O”表示，极表示，极点用点用“”表示。表示。G(s)=G(s)=S+2S+2(s+3)(s(s+3)(s2 2+2s+2)+2s+2)的零极点分布图的零极点分布图0 0 1 12 23 31 12 2-1-1-2-2-3-3-1-1-2-2 j j 第二章第二章 系统数学模型系统数学模型3 3、传递函数的几点说明、传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统；数的概念通常只适用于线性定常系统；传递函数是传递函数是 s s 的复变函数。传递函数中的各的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数；等，完全取决于系统结构参数；传递函数是在零初始条件下定义的，即在零传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。无法描述系统内部中间变量的变化情况。一个传递函数只能表示一个输入对一个输出一个传递函数只能表示一个输入对一个输出 的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。4 4、脉冲响应函数、脉冲响应函数 初始条件为初始条件为0 0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：响应的拉氏变换为：即：即：g g(t t)称为系统的称为系统的脉冲响应函数脉冲响应函数（权函数权函数）。）。系统的系统的脉冲响应函数脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。性的相同信息。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型5 5、典型环节及其传递函数、典型环节及其传递函数 环节环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个一部分称为一个环节环节。经常遇到的环节称为。经常遇到的环节称为典型环节典型环节。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。典型环节示例典型环节示例 q 比例环节比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。系。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型其运动方程为：其运动方程为：x xo o(t t)=)=KxKxi i(t t)x xo o(t t)、x xi i(t t)分别为环节的输出和输入量；分别为环节的输出和输入量；K K比例系数，等于输出量与输入量之比比例系数，等于输出量与输入量之比。比例环节的传递函数为：比例环节的传递函数为：z z1 1z z2 2n ni i(t t)n no o(t t)齿轮传动副齿轮传动副R R2 2R R1 1u ui i(t)(t)u uo o(t)(t)运算放大器运算放大器第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 惯性环节惯性环节 凡运动方程为一阶微分方程：凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：T T时间常数，表征环节的惯性，和时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关环节结构参数有关式中，式中，K K环节增益（放大系数）；环节增益（放大系数）；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型如：弹簧如：弹簧-阻尼器环节阻尼器环节x xi i(t t)x xo o(t t)弹簧弹簧-阻尼器组成的环节阻尼器组成的环节K KC C第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 微分环节微分环节 输出量正比于输入量的微分。输出量正比于输入量的微分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中，式中，微分环节的时间常数微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。它环节一起出现。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型R RC Cu ui i(t t)u uo o(t t)i i(t t)无源微分网络无源微分网络无源微分网络无源微分网络 显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为节，称之为惯性微分环节惯性微分环节，只有当，只有当|TsTs|1|1时，时，才近似为微分环节。才近似为微分环节。除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：节，其传递函数为：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。控制系统的动态性能。q 积分环节积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中，式中，T T积分环节的时间常数。积分环节的时间常数。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型积分环节特点：积分环节特点：输出量取决于输入量对时间的积累过程。输出量取决于输入量对时间的积累过程。且具有且具有记忆记忆功能；功能；具有明显的滞后作用。具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值如当输入量为常值 A A 时，由于：时，由于：输出量须经过时间输出量须经过时间T T才能达到输入量在才能达到输入量在t t=0 0时的值时的值A A。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型如：有源积分网络如：有源积分网络 +C CR Ri i1 1(t t)u ui i(t t)u uo o(t t)i i2 2(t t)a a第二章第二章 系统数学模型系统数学模型液压缸液压缸 A Aq qi i(t t)x xo o(t t)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 振荡环节振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：运动方程为：传递函数：传递函数：式中，式中，T T振荡环节的时间常数振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，阻尼比，对于振荡环节，00 11 K K比例系数比例系数第二章第二章 系统数学模型系统数学模型振荡环节传递函数的另一常用标准形式为振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K K=1=1）：）：n n称为称为无阻尼固有频率无阻尼固有频率。如：质量如：质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统传递函数：传递函数：式中，式中，第二章第二章 系统数学模型系统数学模型当当时，为振荡环节。时，为振荡环节。q 二阶微分环节二阶微分环节 式中，式中，时间常数时间常数 阻阻 尼尼 比比，对对 于于 二二 阶阶 微微 分分 环环 节节，00 11 K K比例系数比例系数 运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 延迟环节延迟环节 惯惯性性环环节节从从输输入入开开始始时时刻刻起起就就已已有有输输出出，仅仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；求的输出值；运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：式中，式中，为纯延迟时间。为纯延迟时间。延迟环节从输入开始之初，在延迟环节从输入开始之初，在0 0 时间内时间内,没有输出，但没有输出，但t t=之后，输出完全等于入。之后，输出完全等于入。延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环节的区别：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型A AL Lv vh hi i(t t)h ho o(t t)轧制钢板厚度测量轧制钢板厚度测量 小结小结 q 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；置或元件；第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 一个环节往往由几个元件之间的运动特性一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成；共同组成；q 同一元件在不同系统中作用不同，输入输同一元件在不同系统中作用不同，输入输 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。出的物理量不同，可起到不同环节的作用。六、系统传递函数方框图六、系统传递函数方框图1 1、系统传递函数方框图、系统传递函数方框图 系统传递函数方框图是系统数学模型的图解形式。可系统传递函数方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。其方框图也不一定相同。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 方框图的结构要素方框图的结构要素 q 信号线信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。或象函数。X X(s s),),x x(t t)信号线信号线q 信号引出点（线）信号引出点（线）表示信号引出或测量的位置和传递方向。表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。引出线引出线X X(s s)X X(s s)X X(s s)X X(s s)X X(s s)X X(s s)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 函数方框函数方框(环节环节)G G(s s)X X1 1(s s)X X2 2(s s)函数方框函数方框函数方框具有运算功能，即：函数方框具有运算功能，即：X X2 2(s s)=)=G G(s s)X X1 1(s s)传递函数的图解表示。传递函数的图解表示。q 求和点（比较点、综合点）求和点（比较点、综合点）信信号号之之间间代代数数加加减减运运算算的的图图解解。用用符符号号“”及及相相应应的的信信号号箭箭头头表表示示，每每个个箭箭头头前方的前方的“+”或或“-”表示加上此信号或减去此信号。表示加上此信号或减去此信号。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型相邻求和点可以互换、合并、相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。律、结合律和分配律。X X1 1(s s)X X2 2(s s)X X1 1(s s)X X2 2(s s)A AB BA A-B BC CA A-B+CB+C A+CA+C-B BB BC CA AA+CA+C A AB BA A-B+CB+CC CA A-B+CB+C求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 求和点求和点函数方框函数方框函数方框函数方框引出线引出线U Ui i(s s)U U(s s)I I(s s)U Uo o(s s)方框图示例方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方框、信号任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。引出点及求和点组成的方框图来表示。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 系统方框图的建立系统方框图的建立 q 步骤步骤 建立系统各元部件的微分方程建立系统各元部件的微分方程,明确信号明确信号 的因果关系（输入的因果关系（输入/输出）。输出）。对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。部件的方框图。按照信号在系统中的传递、变换过程，按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。的方框图。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 示例示例 R RC Cu ui i(t t)u uo o(t t)i i(t t)无源无源RCRC电路网络电路网络 无源无源RCRC网络网络 拉氏变换得：拉氏变换得：第二章第二章 系统数学模型系统数学模型从而可得系统各方框单元及其方框图。从而可得系统各方框单元及其方框图。U Ui i(s s)U Ui i-U-Uo oI I(s s)U Uo o(s s)(a)(a)U Uo o(s s)I I(s s)(b)(b)U Ui i(s s)U U(s s)I I(s s)U Uo o(s s)无源无源RCRC电路网络系统方框图电路网络系统方框图第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 机械系统机械系统 m m1 1f fi i(t t)K K1 1C C x x(t t)0 0m m2 2K K2 2x xo o(t t)0 0m m1 1f fi i(t t)m m2 2f fK K1 1f fK K2 2f fm m1 1f fm m2 2f fC C第二章第二章 系统数学模型系统数学模型第二章第二章 系统数学模型系统数学模型F Fi i(s s)X X(s s)F FC C(s s)F FK K1(s s)(a)K K1 1X X(s s)X Xo o(s s)F FK K1(s s)CsCsF FC C(s s)(b)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 X Xo o(s s)F FC C(s s)F FK K2 2(s s)F FK K1 1(s s)(c)(c)K K2 2X Xo o(s s)F FK K2 2(s s)(d)(d)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 F Fi i(s s)X X(s s)F FC C(s s)F FK K1 1(s s)X Xo o(s s)F FK K2 2(s s)K K1 1 X Xo o(s s)F FK K1 1(s s)CsCsF FC C(s s)K K2 2机械系统方框图机械系统方框图第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 系统方框图的简化系统方框图的简化 q 方框图的运算法则方框图的运算法则 串联连接串联连接 G G1 1(s)(s)G G2 2(s)(s)G Gn n(s)(s)X Xi i(s)(s)X X1 1(s)(s)X X2 2(s)(s)X Xn n-1 1(s)(s)X Xo o(s)(s).G(s)=GG(s)=G1 1(s)G(s)G2 2(s)(s)G Gn n(s)(s)X Xi i(s)(s)X Xo o(s)(s)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 并联连接并联连接 X Xo o(s s)G G1 1(s)(s)+X Xi i(s s)G G2 2(s)(s)+G Gn n(s)(s).X Xi i(s s)X Xo o(s s)G G1 1(s)+G(s)+G2 2(s)+(s)+G+Gn n(s)(s)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 反馈连接反馈连接 G(s)G(s)H(s)H(s)X Xi i(s s)X Xo o(s s)B B(s s)E E(s s)X Xi i(s s)X Xo o(s s)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型q 方框图的等效变换法则方框图的等效变换法则 求和点的移动求和点的移动 G(s)G(s)A AB BC C求和点后移求和点后移G(s)G(s)A AB BC CG(s)G(s)G(s)G(s)A AB BC CG(s)A AB BC C求和点前移求和点前移第二章第二章 系统数学模型系统数学模型 引出点的移动引出点的移动 引出点前移引出点前移G(s)G(s)A AC CC C引出点后移引出点后移G(s)G(s)A AC CA AG(s)G(s)A AC CG(s)G(s)C CG(s)G(s)A AC CA A第二章第二章 系统数学模型系统数学模型一般系统方框图简化方法：一般系统方框图简化方法：1)1)明确系统的输入和输出。对于多输入多输出系统，明确系统的输入和输出。对于多输入多输出系统，针对每个输入及其引起的输出分别进行化简；针对每个输入及其引起的输出分别进行化简；2)2)若系统传递函数方框图内无交叉回路，则根据若系统传递函数方框图内无交叉回路，则根据环节串联，并联和反馈连接的等效从里到外进行环节串联，并联和反馈连接的等效从里到外进行简化；简化；3)3)若系统传递函数方框图内有交叉回路，则根据若系统传递函数方框图内有交叉回路，则根据相加点、分支点等移动规则消除交叉回路，然后相加点、分支点等移动规则消除交叉回路，然后按每按每2 2）步进行化简；）步进行化简；注意：分支点和相加点之间不能相互移动。注意：分支点和相加点之间不能相互移动。第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例：求下图所示系统的传递函数。例：求下图所示系统的传递函数。H H1 1(s)(s)X Xo o(s s)G G1 1(s)(s)G G3 3(s)(s)H H3 3(s)(s)+X Xi i(s s)G G2 2(s)(s)B BH H2 2(s)(s)A A解：解：1 1、A A点前移；点前移；H H1 1(s)(s)G G1 1(s)(s)G G3 3(s)(s)H H3 3(s)(s)+X Xi i(s s)G G2 2(s)(s)X Xo o(s s)H H2 2(s)G(s)G3 3(s)(s)第二章第二章 系统数学模型系统数学模型2 2、消去、消去H H2 2(s s)G G3 3(s s)反馈回路反馈回路H H1 1(s)(s)X Xo o(s s)G G1 1(s)(s)G G3 3(s)(s)H H3 3(s)(s)+X Xi i(s s)H H3 3(s)(s)X Xi i(s s)X Xo o(s s)3 3、消去、消去H H1 1(s s)反馈回路反馈回路第二章第二章 系统数学模型系统数学模型X Xi i(s s)X Xo o(s s)4 4、消去、消去H H3 3(s s)反馈回路反馈回路例：系统传递函数方框图简化例：系统传递函数方框图简化第二章第二章 系统数学模型系统数学模型第二章第二章 系统数学模型系统数学模型例：系统传递函数方框图简化例：系统传递函数方框图简化第二章第