2018-2019年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法高效演练 新人教A版选修4-5.doc

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4.1 数学归纳法A级基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明:123(2n1)(n1)(2n1)时,在验证n1成立时,左边所得的代数式为()A1B13C123 D1234解析:当n1时左边所得的代数式为123.答案:C2设f(n)1(nN*),则f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析:因为f(n)1,所以f(n1)1,所以f(n1)f(n).答案:D3已知a1,an1,猜想an等于()A. B.C. D.解析:a2,a3,a4,猜想an.答案:D4一个与自然数n有关的命题,当n2时命题成立,且由nk时命题成立推得当nk2时命题也成立,则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取什么值无关D以上答案都不对解析:由题意当n2时成立可推得n4,6,8,都成立,因此该命题对所有正偶数都成立答案:B5记凸k边形的内角和为f(k),则凸(k1)边形的内角和f(k1)等于f(k)加上()A2 BC. D.解析:从nk到nk1时,内角和增加.答案:B二、填空题6当f(k)1,则f(k1)f(k)_解析:f(k1)1,所以f(k1)f(k).答案:7观察下列等式:132332,13233362,13233343102,根据上述规律,猜想132333435363_解析:已知等式可写为:132332(12)2,13233362(123)2,13233343102(1234)2,根据上述规律,猜想132333435363(126)2212.答案:2128已知平面上有n(nN*,n3)个点,其中任何三点都不共线,过这些点中任意两点作直线,设这样的直线共有f(n)条,则f(3)_,f(4)_,f(5)_,f(n1)f(n)_解析:当nk时,有f(k)条直线当nk1时,增加的第k1个点与原k个点共连成k条直线,即增加k条直线,所以f(k1)f(k)k.又f(2)1,所以f(3)3,f(4)6,f(5)10,f(n1)f(n)n.答案:3610n三、解答题9求证:1(nN*)证明:(1)当n1时,左边1,右边1,所以左边右边,等式成立(2)假设当nk(k1,kN*)时等式成立,即1.则当nk1时,1.所以当nk1时,等式也成立由(1)(2)可知,对任何nN*等式都成立10用数学归纳法证明n35n能被6整除证明:(1)当n1时,左边13516,能被6整除,结论正确(2)假设当nk时,结论正确,即k35k能被6整除则(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2),因为k35k能被6整除,(k1)(k2)必为偶数,3(k1)(k2)能被6整除,因此,k35k3(k1)(k2)能被6整除即当nk1时结论正确根据(1)(2)可知,n35n对于任何nN都能被6整除B级能力提升1用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时,从“nk到nk1”左端需乘以的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.解析:当nk时,等式为(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)当nk1时,左边(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比较nk和nk1时等式的左边,可知左端需乘以2(2k1)答案:B2用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被14整除,当nk1时,对于34(k1)152(k1)1应变形为_解析:34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案:81(34k152k1)5652k13平面内有n(n2,nN*)条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,那么这n条直线的交点个数f(n)是多少?并证明你的结论解:当n2时,f(2)1;当n3时,f(3)3;当n4时,f(4)6.因此猜想f(n)(n2,nN*)下面利用数学归纳法证明:(1)当n2时,两条相交直线有一个交点,又f(2)2(21)1.所以n2时,命题成立(2)假设当nk(k2且kN*)时命题成立,就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)k(k1),当nk1时,其中一条直线记为l,剩下的k条直线为l1,l2,lk.由归纳假设知,剩下的k条直线之间的交点个数为f(k).由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,所以直线l与l1,l2,l3,lk的交点共有k个,所以f(k1)f(k)kk,所以当nk1时,命题成立由(1)(2)可知,命题对一切nN*且n2时成立
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