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三角函数与解三角形问题感悟体验快易通1.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3 bsin A-acos B-2a=0.(1)求角B的大小.(2)若b=7,ABC的面积为32,求a,c的值.【解析】(1)因为3bsin A-acos B-2a=0,所以由正弦定理得3sin Bsin A-sin Acos B-2sin A=0,又A(0,),sin A0,所以3sin B-cos B=2,sinB-6=1,所以B=23.(2)因为SABC=12acsinB,b2=a2+c2-2accosB.所以12acsin 23=32,a2+c2-2accos23=7,即ac=2,a2+c2=5,所以a=1,c=2,或a=2,c=1.2.已知f(x)=12(sin x+cos x)2-cos2x+4-12.(1)求f(x)的单调区间.(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若fA2=0,且a=1,求ABC面积的最大值.【解析】(1)由已知可得f(x)=sin xcos x-cos2x+4=12sin 2x-1+cos2x+22=sin 2x-12,由-2+2k2x2+2k(kZ)得-4+kx4+k(kZ),由2+2k2x32+2k(kZ),得4+kx34+k(kZ).所以函数f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ),单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=0,得sin A=12,又A为锐角,所以A=6,由正弦定理知bsinB=csinC=1sinA=2,故b=2sin B,c=2sin C,所以SABC=12bcsin A=14bc=sin Bsin C=sin Bsin56-B=sin B12cosB+32sinB=14sin 2B+321-cos2B2=12sin2B-3+342+34,取最大值时B=C=512.故ABC面积的最大值是2+34.
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