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课堂达标(四十) 两直线的位置关系A基础巩固练1(2018怀化模拟)已知直线ax2y20与3xy20平行，则系数a()A3B6CD.解析直线ax2y20与直线3xy20平行，3，a6.故选B.答案B2(2018济南模拟)“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由l1l2，得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要条件答案A3(2018兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是()A. B2 C3 D4解析点O(0,0)关于直线xy10的对称点为O(1,1)，则虫子爬行的最短路程为|OA|2.答案B4(2018湖北武汉一模)已知M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，则a等于()A6或2 B6 C2或6 D2解析集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3xy30，集合N表示恒过定点B(1,0)的直线ax2ya0.因为MN，所以两直线平行，或直线ax2ya0过点A(2,3)，因此3或2a6a0，即a6或a2.答案A5(2018绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.解析因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为，故选C.答案C6(2018厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn等于()A. B. C. D.解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn，故选A.答案A7已知点P(0，1)，点Q在直线xy10上，若直线PQ垂直于直线x2y50，则点Q的坐标是_解析设Q(x0，y0)，因为点Q在直线xy10上，所以x0y010.又直线x2y50的斜率k，直线PQ的斜率kPQ，所以由直线PQ垂直于直线x2y50，得1.由解得x02，y03，即点Q的坐标是(2,3)答案(2,3)8(2018忻州训练)已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_.解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，ab的值为0或.答案0或9(2018宁夏固原二模)若m0，n0，点(m，n)关于直线xy10的对称点在直线xy20上，那么的最小值等于_解析由题意知(m，n)关于直线xy10的对称点为(1n,1m)则1n(1m)20，即mn2.于是(mn)(522).答案10(2018北京朝阳区模拟)已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC为2xy110，联立lAC、lCM得C(4,3)设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.B能力提升练1已知P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析因为P(x0，y0)是直线l1：AxByC0外一点，所以Ax0By0Ck，k0.若方程AxByC(Ax0By0C)0，则AxByCk0.因为直线AxByCk0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线AxByCk0和直线l平行因为Ax0By0Ck，而k0，所以Ax0By0Ck0，所以直线AxByCk0不过点P.答案D2在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1 C. D.解析以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得ABC的重心D，设APx，从而P(x,0)，x(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4x)，P2(x,0)与ABC的重心D共线，所以，求得x.答案D3如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b,3)ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S6.答案64(2018重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和为|PA|PB|PC|PD|PB|PD|PA|PC|BD|AC|QA|QB|QC|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)，直线AC的方程为y22(x1)，直线BD的方程为y5(x1)由得Q(2,4)答案(2,4)5已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件；点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)若点P满足条件，则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以直线l的方程为2x0y00或2x0y00；若点P满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)；联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件C尖子生专练已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4)(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大解析(1)设A关于直线l的对称点为A(m，n)，则解得故A(2,8)P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，则点P就是直线AB与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(2,3)(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，则点P就是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)
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