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4.1.2 利用二分法求方程的近似解(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题 1. 用“二分法”可求近似解，对于精度说法正确的是()A越大，零点的精度越高B越大，零点的精度越低C重复计算次数就是D重复计算次数与无关【解析】依“二分法”的具体步骤可知，越大，零点的精度越低【答案】B 2. 在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4B2,1C2,2.5 D0.5,1【解析】因第一次所取的区间是2,4，所以第二次的区间可能是2,1，1,4；第三次所取的区间可能为2，0.5，0.5,1，1,2.5，2.5,4，只有选项D在其中，故选D.【答案】D 3. 设f(x)lg xx3，用二分法求方程lg xx30在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，则方程的根落在区间()A(2,2.25) B(2.25,2.5)C(2.5,2.75) D(2.75,3)【解析】由二分法的步骤知方程的根落在区间(2.5,2.75)内【答案】C 4. 为了求函数f(x)2x3x7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：x1.251.312 51.3751.437 51.51.562 5f(x)0.871 60.578 80.281 30.210 10.328 430.641 15则方程2x3x7的近似解(精确到0.1)可取为()A1.32 B1.39C1.4 D1.3【解析】由f(1.375)f(1.4375)0，可知方程2x3x7的近似解可取1.4.故选C.【答案】C 5. 已知f(x)ln x在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精度为0.2)，则需要将区间等分的次数为()A3 B4C5 D6【解析】由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次，f0，区间长度0.50.2，分二次，f0，区间长度0.250.2，分三次，f0，区间长度0.2，所以分三次可以使x0的近似值达到精度为0.2.故选A.【答案】A二、填空题 6. 在用二分法求方程exx20的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为_【解析】令f(x)exx2，f(0)10，f0.下一个区间为.【答案】 7. 若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值(或近似值)用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确到0.1)为_【解析】由于f(1.438)f(1.406 5)0，结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.406 5，1.438)中，故方程x3x22x20的一个近似根为1.4.【答案】1.4 8. 用二分法求方程x380在区间(2,3)内的近似解经过_次“二分”后精度能达到0.01?【解析】设n次“二分”后精度达到0.01，区间(2,3)的长度为1，0.01，即2n100.注意到2664100,27128100，故要经过7次二分后精度达到0.01.【答案】7三、解答题 9. 用二分法判断函数f(x)2x33x1零点的个数【解】用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图)：x1.510.500.511.5f(x)1.2522.2510.2503.25由上表和上图可知，f(1.5)0，即f(1.5)f(1)0，说明这个函数在区间(1.5，1)内有零点同理，它在区间(0,0.5)内也有零点另外，f(1)0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域和内是增函数，在内是减函数，所以它共有3个零点 10. 证明方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精度为0.1)【解】证明如下：设函数f(x)2x3x6，f(1)10，f(2)40，又f(x)是增函数，函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一一个实数解设该解为x0，则x01,2，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，x0(1,1.5)，取x21.25，f(1.25)0.1280，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)，取x31.125，f(1.125)0.4440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)，取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，1.187 5可作为这个方程的实数解能力提升 1. 函数yx与函数ylg x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)约是()A1.5B1.6 C1.7D1.8【解析】设f(x)lg xx，经计算f(1)0，所以方程lg xx0在1,2内有解应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求【答案】D 2. 下列函数中，不适合用二分法求零点的是()Af(x)2x3 Bf(x)ln x2x9Cf(x)x42x3x2 Df(x)2x3【解析】C中令f(x)x42x3x2x2(x1)20.得x0或x1，又f(x)0恒成立，由二分法的定义知不适合用二分法【答案】C 3. 用二分法求方程x22的正实根的近似解(精度为0.001)时，如果选取初始区间是1.4,1.5，则要达到精确度要求至少需要计算_次【解析】设至少需要计算n次，则n满足0.001，即2n100，由于27128，故要达到精确度要求至少需要计算7次【答案】7 4. 在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)现在只有一台天平，请问：用二分法的思想最多称几次就可以发现这枚假币？【解】第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币最多称四次
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