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2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理说明:本试卷满分150分,考试时间120分钟一、选择题(每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,请将答案填在答题纸上)1已知i为虚数单位,复数在复平面上对应的点位于 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2若直线(t为参数)的倾斜角为,则 ( )A B C D3设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为 ( )A BC D4计算定积分 ( )A1 Be-1 Ce De+15下面为函数的递增区间的是 ( )A B C D6以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是,则直线被圆C截得的弦长为 ( )A B C D7如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=2,点G与E分别是A1B1和CC1的中点,点D与F分别是AC和AB上的动点若GDEF,则线段DF长度的最小值为 ( )A B C D8已知函数的图象关于点(-1,0)对称,且当x(-,0)时,成立,(其中f(x)是f(x)的导数);若, ,则a,b,c的大小关系是( )Aabc Bbac Ccab Dcba二、填空题(每小题5分,共30分)9若复数z满足,其中i为虚数单位,则|z|=_10在极坐标系中,极点到直线的距离是_11如图,圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是_12设曲线过点(0,0)的切线与曲线上点P处的切线垂直,则P的坐标为_13已知函数在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线在点(1,0)处相切,则函数f(x)的表达式为_。14定义在区间a,b上的连续函数y=f(x),如果,使得,则称为区间a,b上的“中值点”下列函数:;中,在区间0,1上“中值点”多于一个的函数序号为_(写出所有满足条件的函数的序号)三、解答题(共80分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15己知函数( I)求函数f(x)的极值:(II)求函数f(x)在0,2上的最大值;16设F为抛物线的焦点,A、B是抛物线C上的两个动点,O为坐标原点(I)若直线AB经过焦点F,且斜率为2,求线段AB的长度|AB|;(II)当OAOB时,求证:直线AB经过定点M(4,0)17已知函数,kR(I)求函数f(x)的单调区间;(II)当k0时,若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,求k的取值范围18已知椭圆,点P(2,0)(I)求椭圆C的短轴长与离心率;( II)过(1,0)的直线l与椭圆C相交于M、N两点,设MN的中点为T,判断|TP|与|TM|的大小,并证明你的结论19已知函数(I)求函数在点(1,0)处的切线方程;(II)设实数k使得f(x)0,且,所以(II)因为A,B是抛物线C上的两点,所以设,由OAOB,得,所以由,知,即直线AB经过定点M(4,0)17解:(I)函数的定义域为(1)当时,令,解得,此时函数为单调递增函数;令,解得,此时函数为单调递减函数(2)当时,当,即时,令,解得或,此时函数为单调递增函数;令,解得,此时函数为单调递减函数当时,恒成立,函数在上为单调递增函数;当,即时,令,解得或,此时函数为单调递增函数;令,解得,此时函数为单调递减函数综上所述,当时,函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为(II)因为函数在(1,2)内单调递减,所以不等式在在(1,2)上成立因为,则,所以等价于,即,所以18解:(I),故有,椭圆C的短轴长为,离心率为(II)方法1:结论是:当直线斜率不存在时,当直线斜率存在时,设直线,整理得:故故,即点P在以MN为直径的圆内,故(II)方法2,:结论是当直线斜率不存在时,当直线斜率存在时,设直线,整理得:故此时,故19解:(I);(II)因为,所以恒成立等价于恒成立,令,再求函数的最大值,得k的范围是;(III)由,得,即,研究函数,的最大值,所以,当或者时,有0个零点;当或者时,有1个零点;当时,有2个零点;20解:(I)(II)当m=3时,设数列中1,2,3,出现频数依次为,由题意假设,则有(对任意),与已知矛盾,所以同理可证:假设,则存在唯一的,使得那么,对,有(k,s,t两两不相等),与已知矛盾,所以综上:,所以(III)设1,2,xx出现频数依次为同(II)的证明,可得,则取,得到的数列为:下面证明满足题目要求对,不妨令,如果或,由于,所以符合条件;如果或,由于,所以也成立;如果,则可选取;同样的,如果,则可选取,使得,且i,j,s,t两两不相等;如果,则可选取,注意到这种情况每个数最多被选取了一次,因此也成立综上,对任意i,j,总存在s,t,使得,其中i,j,s,t1,2,n且两两不相等因此满足题目要求,所以n的最小值为2026
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