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第八节函数与方程A组基础题组1.(2016北京朝阳期末)下列函数中,既是奇函数又存在零点的是()A.f(x)=xB.f(x)=C.f(x)=exD.f(x)=sin x答案DA、C为非奇非偶函数,B为奇函数,但不存在零点,故选D.2.若函数f(x)=ax+6的零点为1,则函数g(x)=x2+5x+a的零点是()A.-6B.6C.6,-6D.1,-6答案D函数f(x)=ax+6的零点为1,a+6=0,a=-6,g(x)=x2+5x-6=(x-1)(x+6),令g(x)=0,得x=1或x=-6,故函数g(x)=x2+5x+a的零点是1和-6.3.已知函数f(x)=log12x,x0,2x,x0,若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是()A.(0,+)B.(-,1)C.(1,+)D.(0,1答案D作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示:由图可知k(0,1,故选D.4.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=-x2+4x,x2,log2x-a,x2有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.-1,0)B.(1,2C.(1,+)D.(2,+)答案C当x2时,令f(x)=-x2+4x=0,得x=0或x=4(舍去),即x2时, f(x)有一个零点.当x2时, f(x)=log2x-a是增函数,由题意知x2时, f(x)必有一个零点,故a=log2x(x2),a1.故选C.5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时, f(x)=x2-2x,若函数g(x)=f(x)-m(mR)恰有4个零点,则m的取值范围是.答案(-1,0)解析画出函数f(x)的图象如图所示,若函数g(x)=f(x)-m(mR)恰有4个零点,则函数f(x)的图象与直线y=m有4个交点,由图易得m的取值范围为(-1,0).6.(2016北京东城一模)已知函数f(x)=a(x-1)2+1,x0,2-x,x0,(1)若f(f(-1)=0,则实数a=;(2)在(1)的条件下,若直线y=m与y=f(x)的图象有且只有一个交点,则实数m的取值范围是.答案(1)-1(2)(-,0)1,+)解析(1)f(f(-1)=f(2)=a+1=0,a=-1.(2)在(1)的条件下画出f(x)的图象如图所示.若y=m与y=f(x)的图象有且只有一个交点,则m1或mm,函数g(x)=f(x)-k.(1)当m=2时,若函数g(x)有两个零点,则k的取值范围是;(2)若存在实数k,使得函数g(x)有两个零点,则m的取值范围是.答案(1)(4,8(2)(-,0)(1,+)解析(1)当m=2时, f(x)=x3,x2,x2,x2的图象如图所示,要使函数g(x)有两个零点,则方程f(x)-k=0有两个根,则函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,由图可知4k8.(2)可以把问题转化成函数在R上不单调,再作出图象(图略),变化m的位置,根据图象特征可知m1.8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两个不相等的实数根,其中一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内,求m的取值范围.解析由题意知,二次函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,则f(0)=2m+10,f(1)=4m+20m-12,mR,m-56,即-m0,x+1,x0.(1)求gf(1)的值;(2)若方程gf (x)-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解析(1)f(1)=-12-21=-3,gf(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)若f(x)=t,则gf(x)-a=0可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在t(-,1)时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图象,如图所示,由图象可知,当1a时,函数y=g(t)(t0.当k0且直线y=kx与函数y=-x2+8x-4在第一象限内的图象相切时,两曲线有1个交点,联立得y=-x2+8x-4,y=kx,消去y,整理得x2+(k-8)x+4=0,由两曲线相切得=(k-8)2-44=0,解得k=4或k=12(此时两曲线在第三象限相切,舍去).所以k的取值范围是(0,4),故选C.11.(2017北京海淀期中)已知定义在R上的函数f(x)=2x+a,x0,ln(x+a),x0,若方程f(x)=有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()A.-aB.0aC.0a1D.- a0答案A当x0时,a0,当x0时, f(x)=ln(x+a)ln a,方程f(x)=有两个不相等的实数根,a121+a,lna12,即a12,a-12,ae,得-a0,0a0时,f(x)=ln(x+a),此时方程f(x)=有一个解,当x0时, f(x)=有一个解需满足a1+a,得-a,又a0,-a0.综上,-a1.(1)若a=0,x0,4,则 f(x)的值域是;(2)若f(x)恰有三个零点,则实数a的取值范围是.答案(1)-1,1(2)(-,0)解析(1)a=0时, f(x)=-x2,x1,x-1,x1,f(x)在0,1上单调递减,在(1,4上单调递增.f(0)=0, f(1)=-1, f(4)=1,f(x)在0,4上的值域为-1,1.(2)当x1时,易得f(x)的零点为x=2a和x=a.当x1时,令f(x)=0,得x=1-a,x= (1-a)2(1-a1).f(x)恰好有三个零点,2a1,a1,2aa,(1-a)21,1-a1,解得a0.13.(2017北京东城二模,14)已知函数f(x)=|x-1|,x0,2,min|x-1|,|x-3|,x(2,4,min|x-3|,|x-5|,x(4,+).若f(x)=a有且仅有一个根,则实数a的取值范围是;若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是.答案(1,+)(-4,-2)(2,4)解析如图, f(x)=1-x,x0,1),x-1,x1,2,3-x,x(2,3),x-3,x3,4,5-x,x(4,5),x-5,x5,+).由图可知,若f(x)=a有且仅有一个根,则a(1,+).T0时,如图,A(1-T,0),31-T5-4T0时,如图,B(5-T,0),15-T32T1.(1)方程f(x)=-x有个实根;(2)若方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是.答案(1)1(2)14,1e解析(1)函数f(x)=14x+1,x1,lnx,x1与y=-x的图象如图:观察图象可知方程f(x)=-x有1个实根.(2)方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,y=f(x)与y=ax的图象有2个不同的交点,x1时,f (x)=,当y=ax与f(x)(x1)相切时,设切点为(x0,y0),则切线方程为y-y0=1x0(x-x0),又切线过原点,y0=1,x0=e,此时,y=ax的斜率为,又直线y=ax与y=x+1平行时,直线y=ax的斜率为,实数a的取值范围是14,1e.
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