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专题09 导数意义及导数运算一、 考纲要求:1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2yx3，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数二、概念掌握及解题上的注意点：1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2(f(x)0)3af(x)bg(x)af(x)bg(x)4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”5.求函数导数的一般原则如下(1）)遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导.(2）)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导.(3）)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.4）.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.6.求函数图象的切线方程的注意事项:(1）)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点设出.(2）)切点既在函数的图象上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程组.(3）)在切点处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.(4）)曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点.(5）)当曲线y=f(x)在点(x0,fx0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.三、高考考题题例分析：例1.（2018全国卷）设函数f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x解析：函数f（x）=x3+（a1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D例2.（2018全国卷II）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为解析：y=2ln（x+1），y=，当x=0时，y=2，曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x故答案为：y=2x例3.（2018全国卷）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a=3例4.(2017全国卷)曲线yx在点(1,2)处的切线方程为_xy10解析：y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.例5.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(x)ln x3x，所以f(x)3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.例6.(2017天津高考)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_解析：f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.导数意义及导数运算练习一、 选择题 1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)C解析：f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)2曲线f(x)2xex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy103已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()Ae B1 C1DeB 解析：由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.4曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1By3x1Cy3x1Dy3x1A解析：由题意得y(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e023，故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即y3x1.5若直线ykx1是函数f(x)ln x图象的一条切线，则k()A BCeDe2A 解析：由f(x)ln x，得f(x).设切点为(x0，ln x0)，则解得x0e2，则k，故选A6.已知直线ykx1与曲线yx3mxn相切于点A(1,3)，则n()A1 B1C3 D4C解析：对于yx3mxn，y3x2m，k3m，又k13,1mn3，可解得n3.7已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1B0C2D48.曲线y1在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x29.若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a()AeB2eCeD2eB解析：依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0，则有y|xx0，于是有解得x0，a2e，选B.10已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3C4 D2D解析：f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，解得m2.11曲线ye在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()Ae2B4e2C2e2De2D解析：易知曲线ye在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.ye，kee2，切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所求面积为S2|e2|e2.12已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1B3C4D2二、填空题13(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.1ln 2解析：分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值求得(ln x2)，ln(x1).设曲线yln x2上的切点为(x1，y1)，曲线yln(x1)上的切点为(x2，y2)，则k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln x1，所以k2，所以x1，y1ln22ln 2，所以by1kx12ln 211ln 2.14已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_. 1解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.15曲线yaln x(a0)在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a_.16设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_(1,1)解析：函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2.易知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1,1)三、解答题17求下列函数的导数：(1)yxtan x；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y.解(1)y(xtan x)xtan xx(tan x)tan xxtan xxtan x.(2)y(x1)(x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y.18已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程19已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. 解(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)
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