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4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题 1. 函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)【解析】因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f(1)2130，f(0)10，所以f(1)f(0)0，故函数零点所在的一个区间是(1,0)故选B.【答案】B 2. 函数f(x)的零点有()A0个 B1个C2个 D3个【解析】由f(x)0得x1，f(x)只有一个零点【答案】B 3. 若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()Aa1Ca1 Da1【解析】由题意知，44a1.【答案】B 4. 函数f(x)log3xx3零点所在大致区间是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)【解析】f(x)log3xx3，f(1)log311320，f(4)log3443log3410，f(5)log3553log3520，函数f(x)log3xx3零点所在大致区间是(2,3)故选B.【答案】B 5. 设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点【解析】因为fln 10，f(1)ln 10，f(e)eln ee10.故函数f(x)在内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】C二、填空题 6. 函数f(x)x2mx6的一个零点是6，则另一个零点是_【解析】由题意(6)26m60，解得m5，由x25x60，解得x16，x21.故另一个零点为1.【答案】1 7. 若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa交点的个数，由函数的图像(如图所示)，可知a1时两函数图像有两个交点，0a1时两函数图像有唯一交点，故a1.【答案】(1，) 8. 已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN，则n_.【解析】2a3b4，当x2时，f(2)loga22b0；当x3时，f(3)loga33b0，f(x)的零点x0在区间(2,3)内，n2.【答案】2三、解答题 9. 求函数yax2(2a1)x2(aR)的零点【解】令y0并化为：(ax1)(x2)0.当a0时，函数为yx2，则其零点为x2；当a时，则由(x2)0，解得x1x22，则其零点为x2；当a0且a时，则由(ax1)(x2)0，解得x或x2，则其零点为x或x2. 10. 关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围【解】令g(x)mx22(m3)x2m14.依题意得或即或解得m0.故实数m的取值范围为.能力提升 1. 在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B.C. D.【解析】g(x)ex在(，)上是增函数，h(x)4x3在(，)上是增函数，f(x)ex4x3在(，)上是增函数又f40，f(0)e040320，f20，f10，ff0.【答案】C 2. 函数f(x)零点的个数为()A1 B2C3 D4【解析】作出函数f(x)的图像如图所示：则f(x)的零点个数为2.【答案】B 3. 已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为_【解析】令g(x)f(x)m0，得f(x)m.由题意函数f(x)与ym的图像有三个不同的交点由图可知故当m0时，两函数有三个不同的交点，故函数的取值范围为m0.【答案】 4. 已知二次函数f(x)ax2bxc.(1)若abc，且f(1)0，试证明f(x)必有两个零点；(2)设x1，x2R，x1x2，且f(x1)f(x2)，若方程f(x)f(x1)f(x2)有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x1，x2)【证明】(1)f(1)0，abc0.又abc，a0，c0，即ac0，b24ac4ac0，方程ax2bxc0必有两个不等实根，f(x)必有两个零点(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)f(x1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)2，且f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0.g(x)0在(x1，x2)内必有一实根.
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