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第2讲 一元二次不等式的解法 本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。【知识梳理】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2无实根ax2bxc0(a0)的解集xx2x一切实数ax2bxc0(a0)的解集x1xx2无解无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式【高效演练】1.下列哪个不等式是一元二次不等式（）Ax2+x1 Bx2+10Cx2+10 Dx+10【解析】只有是一元二次不等式，而+10含有根式，没有定义次数，0是分式不等式，不定义次数，x+10是一元一次不等式故选：A【答案】A2不等式的解集是（ ）A或B或CD 【解析】由，可得；，所以原不等式的解集为。【答案】C3.一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为R，则必有（）A BC D【分析】由题意，结合图象与二次函数的性质得到答案4.一元二次不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围是（）A B C D【分析】由二次项系数小于0，对应的判别式小于0联立求解【解答】解：由一元二次不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立，则，解得3k0综上，满足一元二次不等式2kx2+kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是【答案】A【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”的结合解题。5.已知二次函数y=x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式x2+2x+m0的解集为 【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x轴的另一个交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与x轴的另一个交点坐标6.解下列不等式：(1)x27x120； (2)x22x10；(3)x22x30； (4)x22x20.【解析】(1)方程x27x120的解为x13，x24.而yx27x12的图象开口向上，可得原不等式x27x120的解集是x3或x4.(2)方程x22x10有两个相同的解x1x21.而yx22x1的图象开口向上，可得原不等式x22x10的解集为无解(3)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30.方程x22x30的解为x13，x21.而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是3x1(4)因为0，所以方程x22x20无实数解，而yx22x2的图象开口向上，可得原不等式x22x20的解集为一切实数。7.已知一元二次不等式x2axb0的解集是1x3；（1）求实数a，b的值；（2）解不等式 【分析】（1）由题意可得1和3是x2axb=0的实数根，利用韦达定理求得 a和b的值（2）不等式即1，即0，即（x3）（x+7）0，解一元二次不等式，求得x的范围【解答】解：（1）因为不等式 一元二次不等式x2axb0的解集是1x3；1和3是x2axb=0的实数根，1+3=a，13=b，即 a=4，b=3（2）不等式1，即为1，即0，即（x3）（x+7）0，x3，或 x7，故原不等式的解集为x3或 x7【点评】本题主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题8不等式x2axb0的解集为2x0的解集为.【解析】由题意知2,3是方程x2axb0的解，不等式bx2ax10为6x25x10,6x25x10， 解集为 9.解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10【解析】若a=0，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或；若a0，原不等式，其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式无解；（2）当a1时，原不等式；
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