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4.1.2利用二分法求方程的近似解|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()Ax1Bx2Cx3 Dx4【解析】观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求【答案】C2用二分法研究函数f(x)x58x31的零点时，第一次经过计算得f(0)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A(0,0.5)，f(0.125) B(0.5,1)，f(0.875)C(0.5,1)，f(0.75) D(0,0.5)，f(0.25)【解析】f(x)x58x31，f(0)0，f(0)f(0.5)0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则下列说法中正确的是()A函数f(x)在区间内一定有零点B函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C函数f(x)在内无零点D函数f(x)在区间或内有零点【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或中或f0.【答案】B4已知图象连续不断的函数yf(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为()A3 B4C5 D6【解析】由10，所以n的最小值为4.故选B.【答案】B5若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确到0.1)为()A1.2 B1.3C1.4 D1.5【解析】由表知f(1.438)0，f(1.406 5)0且在1.406 5,1.438内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)6用二分法求函数f(x)在区间0,2上零点的近似解，若f(0)f(2)0，取区间中点x11，计算得f(0)f(x1)0，则此时可以判定零点x0_(填区间)【解析】由二分法的定义，根据f(0)f(2)0，f(0)f(x1)0，故零点所在区间可以为(0，x1)【答案】(0，x1)7已知二次函数f(x)x2x6在区间1,4上的图象是一条连续的曲线，且f(1)60，由函数零点的性质可知函数在1,4内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)_.【解析】显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)f(2.5)2.522.562.25.【答案】2.258在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币【解析】将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币【答案】4三、解答题(每小题10分，共20分)9用二分法求方程ln x在1,2上的近似解，取中点c1.5，求下一个有根区间【解析】令f(x)ln x，f(1)1ln 10，f(1.5)ln 1.5(ln1.532)因为1.533.375，e241.53， 故f(1.5)(ln 1.532)(ln e22)0，f(1.5)f(2)0，下一个有根区间是1.5,210求出函数F(x)x5x1的零点所在的大致区间【解析】函数F(x)x5x1的零点即方程x5x10的根由方程x5x10，得x5x1.令f(x)x5，g(x)x1.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图，显在它们只有1个交点F(1)11110F(x)x5x1的零点区间为(1,2)|能力提升|(20分钟，40分)11设f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,3)内近似解的过程中取区间中点x02，那么下一个有根区间为()A(1,2) B(2,3)C(1,2)或(2,3) D不能确定【解析】因为f(1)3131820，f(2)3232870，所以f(1)f(2)0，所以f(x)0的下一个有根的区间为(1,2)【答案】A12.已知yx(x1)(x1)的图像如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，对于方程式f(x)0根的情况，以下说法正确的是_(填上正确的序号)有三个实根；当x1时，恰有一实根；当1x0时，恰有一实根；当0x1时，恰有一实根【解析】函数f(x)的图像可由yx(x1)(x1)的图像向上平移0.01个单位长度即可，如图所示由图像易知方程f(x)0有三个实根，当x1时，恰好有一根；当1x0时，没有实根；且当0x1时，没有实根所以只有正确【答案】13已知函数f(x)ax32ax3a4在区间(1,1)上有一个零点(1)求实数a的取值范围；(2)若a，用二分法求方程f(x)0在区间(1，1)上的一个根【解析】(1)若a0，则f(x)4，与题意不符，所以a0.由题意得f(1)f(1)8(a1)(a2)0，即或所以1a2，故实数a的取值范围为1a0，f(0)0，f(1)0.所以函数零点在(0,1)上，又f0，所以方程f(x)0在区间(1,1)上的一个根为.14证明：方程63x2x在区间1,2内只有一个实数解，并求出这个实数解(精确到0.1)【证明】设函数f(x)2x3x6.f(1)10，又函数f(x)2x3x6在R上是增函数，函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一的零点，则方程63x2x在区间1,2内有唯一的实数解取区间1,2的中点x11.5，f(1.5)1.330，f(1)10，函数f(x)2x3x6的零点在区间1,1.25内；取区间1,1.25的中点x31.125，f(1.125)0.440，函数f(x)2x3x6的零点在区间1.125,1.25内；再取区间1.125,1.25的中点x41.187 5，可得f(1.187 5)0.160.函数f(x)2x3x6的零点在区间1.187 5,1.25内|1.251.187 5|0.062 5 0.1，方程的近似实数解为1.2.
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