河北省2019年中考数学复习 三角形 第24讲 直角三角形与锐角三角函数试题（含解析）.doc

第24讲直角三角形与锐角三角函数1. (xx，河北)如图，AB，CD相交于点O，ACCD于点C.若BOD38，则A52.第1题图【解析】 BOD38，AOC38.ACCD于点C，A90AOC903852.2. (xx，河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不等于(A)第2题图A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】 如答图将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为3，4，5，故n2.第2题答图3. (xx，邯郸一模)如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，则RtABC的中线CD的长为(A)第3题图A. 5 B. 6 C. 8 D. 10【解析】 在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，AB10.CD是RtABC的中线，CDAB5.4. (xx，唐山路南区三模)如图，在正方形ABCD中，AEBE，且AE3，BE4，则阴影部分的面积是(C)第4题图A. 16 B. 18 C. 19 D. 21【解析】 AEBE，且AE3，BE4，在RtABE中，AB2AE2BE225.S阴影S正方形ABCDSABEAB2AEBE253419.直角三角形中的边角关系例1 (xx，扬州高邮模拟)具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是(D)A. ABC B. ABCC. ABC123 D. AB3C【解析】 选项A中ABC，即2C180，C90.ABC是直角三角形同理可证，B，C两选项中的ABC均是直角三角形选项D中AB3C，即7C180，三个角没有90角，故此选项中的ABC不是直角三角形.针对训练1 (导学号5892921)如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.设AB4，DBE30，则DEM的面积为 .训练1题图【解析】 在ABC中，ADBC，BEAC，ABE，ADB是直角三角形EM，DM分别是它们斜边上的中线EMDMAB.MEABMA，MAEMEA.BME2MAE.同理MDABMA.MADMDA.BMD2MAD.EMDBMEBMD2MAE2MAD2DAC2DBE60.所以DEM是边长为2的正三角形，所以SDEM.针对训练2 (xx，宜城模拟)在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，则BC的长为10或6.【解析】 本题分两种情况(1)如答图，AB10，AC2，AD6.在RtABD和RtACD中，根据勾股定理，得BD8，CD2，此时BCBDCD8210.(2)如答图，AB10，AC2，AD6.在RtABD和RtACD中，根据勾股定理，得BD8，CD2，此时BCBDCD826.综上所述，BC的长为10或6.训练2答图锐角三角函数的定义例2 (xx，哈尔滨道里区模拟)如图，在RtABC中，C90，B35，AB3，则BC的长为(C)例2题图A. 3sin 35 B. C. 3cos 35 D. 3tan 35【解析】 cos 35，BC3cos 35.针对训练3 (xx，唐山古冶区二模)如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，O的半径为1，圆心O在格点上，则tanAED等于(C)训练3题图A. 1 B. C. D. 【解析】 AC1，AB2，tanABC.由圆周角定理，得AEDABC.tanAED.针对训练4 如图，在22正方形网格中，以格点为顶点的ABC的面积等于，则sinCAB等于(B)训练4题图A. B. C. D. 【解析】 如答图，作CDAB于点D.由题意，得ABAC，BC.由三角形的面积，得ABCD.CD.sinCAB.训练4答图特殊角的三角函数值例3 (xx，嘉兴一模)把一把直尺与一块三角板如图所示放置若sin1，则2的度数为(B) 例3题图A. 120 B. 135 C. 145 D. 150【解析】 如答图sin1，145.在RtEFG中，3901904545，41803135.ABCD，24135.例3答图针对训练5 在ABC中，A，B都是锐角，tan A1，sin B，你认为ABC最确切的判断是(B)A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形【解析】 由题意，得A45，B45.C180AB90.针对训练6 如图，点O在ABC内，且到三边的距离相等若BOC120，则tan A的值为(A) 训练6题图A. B. C. D. 【解析】 点O到ABC三边的距离相等，BO平分ABC，CO平分ACB.A180(ABCACB)1802(OBCOCB)1802(180BOC)1802(180120)60.tan Atan 60.一、 选择题1. (xx，天津)cos 30的值为(B)A. B. C. 1 D. 【解析】 根据特殊角的三角函数值直接解答即可2. (xx，深圳龙岗区模拟)如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么其中的一个锐角的度数是(B)A. 9 B. 18 C. 27 D. 36【解析】 设较小的锐角是x，则另一个锐角是4x.则x4x90.解得x18.4x72.所以两个锐角分别是18和72.3. (xx，孝感)如图，在RtABC中，C90，AB10，AC8，则sin A的值为(A)第3题图A. B. C. D. 【解析】 在RtABC中，AB10，AC8，BC6.sin A.4. (xx，贵阳)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为(B)第4题图A. B. 1 C. D. 【解析】 如答图，连接BC.由网格，得ABBC，AC，即AB2BC2AC2.ABC为等腰直角三角形BAC45.tanBAC1. 第4题答图5. (xx，淄博，导学号5892921)如图，在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC.若AN1，则BC的长为(B)第5题图A. 4 B. 6 C. 4 D. 8【解析】 在RtABC中，CM平分ACB，MNBC，且MN平分AMC，BAMNNMC，NCMBCMNMC.ACB2B，NMNC.B30.AN1，MN2.ACANNC3.BC6.6. (xx，扬州)如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CE平分ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)第6题图A. BCEC B. ECBE C. BCBE D. AEEC【解析】 ACB90，CDAB，ACDBCD90，ACDA90.BCDA.CE平分ACD，ACEDCE.BECAACE，BCEBCDDCE，BECBCE.BCBE.7. (xx，贺州)如图，在ABC中，BAC90，ADBC，垂足为D，E是边BC的中点，ADED3，则BC的长为(D)第7题图A. 3 B. 3 C. 6 D. 6【解析】 ADED3，ADBC，ADE为等腰直角三角形根据勾股定理，得AE3.在RtABC中，E为BC的中点，AEBC.BC2AE6.8. (xx，大同模拟，导学号5892921)一直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的正弦值为(C)A. B. C. 或 D. 或【解析】 本题分两种情况当斜边长是8时，直角三角形的另一直角边长是2.较小锐角的正弦值为.当两直角边长分别是6和8时，由勾股定理，得斜边长为10.较小锐角的正弦值为.所以该三角形中较小锐角的正弦值为或.二、 填空题9. (xx，德州)如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，则BAC的正弦值是( ).第9题图【解析】 AB2324225，AC2224220，BC212225，AC2BC2AB2.ABC为直角三角形，且ACB90.sinBAC.10. (xx，湘潭)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在ABC中，ACB90，ACAB10，BC3，求AC的长如果设ACx，那么可列方程为x232(10x)2 .第10题图【解析】 ACAB10，AB10x.在RtABC中，ACB90，AC2BC2AB2，即x232(10x)2.11. (xx，石家庄裕华区模拟)如图，在ABC中，ACB90，A30，BC4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为 6 .第11题图【解析】 由作图过程及痕迹，得CFAB.在ABC中，ACB90，A30，BC4，AB2BC8，CBD60.在RtBCF中，BCF30.BFBC2.AFABBF826.三、 解答题12. 如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取ABD120，BD520 m，D30，那么另一边的开挖点E离D多远时，正好使A，C，E三点在同一直线上？(取1.732，结果取整数)第12题图【思路分析】 根据三角形内角与外角的关系可求出AED的度数，再根据勾股定理即可求出DE的长解：ABD120，D30，AED1203090.在RtBDE中，BD520 m，D30，BE260 m.DE260450(m)答：另一边的开挖点E离D约450 m时，正好使A，C，E三点在同一直线上13. (xx，北京顺义区二模)如图，在四边形ABCD中，BCD90，ADDB，E为AB的中点，BCDE.(1)求证：BD平分ABC；(2)连接EC，若A30，DC，求EC的长第13题图【思路分析】 (1)直接利用直角三角形的性质得出DEBEAB，再利用BCDE得出BDEDBC，进而得出答案(2)利用已知得出在RtBCD中，DBC60，又由DC得出DB的长，再在RtCDE中利用勾股定理求出EC的长(1)证明：如答图ADDB，E为AB的中点，DEBEAB.12.BCDE，23.13，即BD平分ABC.(2)解：如答图ADDB，A30，160.3260.BCD90，430.CDE2490.在RtBCD中，360，DC，DB2.DEBE，160，DEDB2.EC.第13题答图14. (xx，保定二模)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按图或图所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中DAB90，求证：a2b2c2.证明：连接DB，过点D作BCD的BC边上的高DF，则DFECba.S四边形ADCBSACDSABCb2ab，且S四边形ADCBSADBSDCBc2a(ba)，b2abc2a(ba)a2b2c2.请参照上述证法，利用图完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中DAB90.求证：a2b2c2.第14题图【思路分析】 先连接BD，过点B作BDE的DE边上的高BF，则BFba，用两种不同的方式表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证证明：如答图，连接BD，过点B作BDE的DE边上的高BF，则BFba.S五边形ACBEDSACBSABESADEabb2ab，且S五边形ACBEDSACBSABDSBDEabc2a(ba)，abb2ababc2a(ba)a2b2c2.第14题答图1. (xx，温州，导学号5892921)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成若a3，b4，则该矩形的面积为(B)第1题图A. 20 B. 24 C. D. 【解析】 如答图设小正方形的边长为x.a3，b4，AB347.在RtABC中，AC2BC2AB2，即(3x)2(x4)272.整理，得x27x120，即x27x12.该矩形的面积为(x3)(x4)x27x1224.第1题答图2. (xx，天津，导学号5892921)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EFAC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为().第2题图【解析】 如答图，连接DE.在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DE是ABC的中位线，BDBEEC2.DE2，且DEAC.EFAC于点F，C60，FEC30，DEFEFC90.FCEC1.EF.G为EF的中点，EG.DG.第2题答图3. (xx，贵阳)如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称(1)求证：AEF是等边三角形；(2)若AB2，求AFD的面积第3题图【思路分析】 (1)先根据AE是BC边上的高及ADBC证ADE为直角三角形由F是DE的中点知AFEF，再结合AE与AF关于AG对称知AEAF，即可得证(2)记AG，EF的交点为H.由AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于AG对称知BAEGAE30，据此由AB2知AEAFDF，AH，从而得出答案(1)证明：AE是BC边上的高，AEBC.四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AEAD，即DAE90.F是DE的中点，AFEFDF.AE与AF关于AG对称，AEAF.EFAEAF.AEF是等边三角形(2)解：如答图，记AG，EF的交点为H.AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，EAG30，AGEF.AB与AG关于AE对称，BAEGAE30，AEB90.AB2，BE1，DFAFAE.EHAE，AH.SAFDDFAH.第3题答图