2018-2019高中数学 第2章 平面向量章末复习学案 苏教版必修4.doc

第2章 平面向量章末复习学习目标1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用1向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0a(x1，y1)向量的数量积运算ab|a|b|cos(为a与b的夹角)规定0a0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积abx1x2y1y22两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.3向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一实数使得ba(a0)x1y2x2y10abab0x1x2y1y201平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()提示平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底2若向量和向量共线，则A，B，C，D四点在同一直线上()提示也可能ABCD.3若ab0，则a0或b0.()4若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，ab0)(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小解(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2.(k23)a28kab(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238kab13k20，ab.(2)ab.由对勾函数的单调性可知，f(k)在(0，1上单调减，在1，)上单调增，当k1时，f(k)minf(1)(11)，此时a与b的夹角的余弦值cos，又0，180，60.反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则|a|.两向量夹角的余弦值(0)cos.跟踪训练2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值解(1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3，1)，(m1，m)，与不平行，3mm1，解得m，当实数m时满足条件(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则，而(3，1)，(2m，1m)，3(2m)(1m)0，解得m.类型三向量坐标法在平面几何中的应用例3已知在等腰ABC中，BB，CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值的大小解建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，其中a0，c0，则B(c，0)，(0，a)，(c，a)，(c，0)，(2c，0)因为BB，CC为AC，AB边上的中线，所以()，同理.因为，所以0，即0，化简得a29c2，又因为cosA.即顶角A的余弦值为.反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性跟踪训练3如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120，点C在上，且COB30，若，则_.答案解析由题意，得AOC90，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则O(0，0)，A(0，)，C(，0)，B(cos30，sin30)，即B.因为，所以(，0)(0，)，即则所以.1在菱形ABCD中，若AC2，则_.答案2解析如图，设对角线AC与BD交于点O，.()202.2设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4.若点M，N满足3，2，则_.答案9解析ABCD的图象如图所示，由题设知，|2|236169.3已知向量a(2，3)，b(1，2)，若ma4b与a2b共线，则m的值为_答案2解析ma4b(2m4，3m8)，a2b(4，1)ma4b与a2b共线，(2m4)(1)(3m8)40，解得m2.4若向量(1，3)，|，0，则|_.答案2解析由题意可知，AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|，由勾股定理得|2.5平面向量a(，1)，b，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t)解由a(，1)，b，得ab0，|a|2，|b|1，由xy，得a(t23)b(katb)0，ka2tabk(t23)abt(t23)b20，即4kt33t0，所以k(t33t)，令f(t)(t33t)，所以函数关系式为kf(t)(t33t)1由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题2向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧一、填空题1设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x为_答案3解析ab，264x0，x3.2在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则_.答案5解析四边形ABCD为平行四边形，(1，2)(2，1)(3，1)，23(1)15.3若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b_.答案(3，6)解析设bka(k，2k)，k0，而|b|3，则3，k3，b(3，6)4已知a(2，3)，b(1，4)，c(5，6)，那么(ab)c_.答案(50，60)解析因为ab(2，3)(1，4)21210，所以(ab)c10(5，6)(50，60)5若|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，若(3a5b)(mab)，则m的值为_答案解析由题意知(3a5b)(mab)3ma2(5m3)ab5b20，即3m(5m3)2cos60540，解得m.6若(sin，1)，(2sin，2cos)，其中，则|的最大值为_答案3解析(sin，2cos1)|，当cos1，即0时，|取得最大值3.7已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.答案解析因为|e1|e2|1且e1e2.所以e1与e2的夹角为60.又因为be1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2)所以b与e1的夹角为30，所以be1|b|e1|cos301.|b|.8已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|，则_.答案解析由弦长|AB|，可知ACB60，|cosACB.9单位圆上三点A，B，C满足0，则向量，的夹角为_答案120解析A，B，C为单位圆上三点，|1，又0.2()2222，可得cos，.又，0，180，向量，的夹角为120.10在ABC中，点O在线段BC的延长线上，且|3|，当xy时，xy_.答案2解析由|3|，得3，则，所以().所以x，y，所以xy2.11已知向量a(1，1)，b(1，1)，设向量c满足(2ac)(3bc)0，则|c|的最大值为_答案解析将2a，3b，c的起点都移到坐标原点，如图(2ac)(3bc)0，即ACBC.又ab，即OAOB，O，A，C，B共圆|c|的最大值即为圆的直径AB.二、解答题12已知(1，0)，(0，1)，(t，t)(tR)，O是坐标原点(1)若A，B，M三点共线，求t的值；(2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值解(1)(1，1)，(t1，t)A，B，M三点共线，与共线，t(t1)0，t.(2)(1t，t)，(t，1t)，2t22t22，易知当t时，取得最小值.13如图，在同一平面内，AOB150，AOC120，|2，|3，|4.(1)用和表示；(2)若，求的值解由题意，得BOC90，以OC所在的直线为x轴，以BO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O(0，0)，A(1，)，B(0，3)，C(4，0)(1)设12，则(1，)1(0，3)2(4，0)(42，31)，1，2，.(2)设D(x，y)，(x1，y)(5，)，D(51，)，(51，3)0，(51)5(3)()0，解得.三、探究与拓展14已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_答案解析，()()2(1)29(1)3240，.15在RtABC中，已知A90，BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值解方法一如图，0.，()()a20a2()a2a2a2cos .故当cos 1，即0(与方向相同)时，的值最大，其最大值为0.方法二以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设ABc，ACb，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，设点P的坐标为(x，y)，由题意知PQ2a，BCa，则Q(x，y)，x2y2a2，(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.又2cx2bya2acos，cxbya2cosa2a2cos.故当cos1，即0(与方向相同)时，的值最大，其最大值为0.