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2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法【选题明细表】知识点、方法题号零点存在性判断2,5,7求零点3,6,9零点应用10,11二分法1,4,81.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是(C)(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4解析:由题图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.2.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)0,f(2)0,则下列说法正确的是(C)(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)f(1)0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.故选C.3.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间-2,4上的零点必定属于(D)(A)-2,1 (B)2.5,4(C)1,1.75 (D)1.75,2.5解析:因为f(-2)=-280,f(1)=-40, f(1.75)=-1.5156250.所以f(x)在-2,4上的零点必定属于1.75,2.5.故选D.4.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为(D)(A)(1.4,2) (B)(1.1,4) (C)(1,) (D)(,2)解析:设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-20,F()=()3-2-1=-0,所以f()f(2)0,所以该根应在区间(,2)内.故选D.5.(xx河南中原名校联考)函数y=x3与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是(A)(A)1,2 (B)0,1(C)-1,0 (D)2,3解析:设f(x)=x3-x-3,当x=1时,y=-3,当x=2时,y=3,f(1)f(2)0,所以函数的零点必在区间1,2,故选A.6.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0,xR)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6不求a,b,c的值,可以判断方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根所在的区间是(A)(A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1)(C)(-1,1)和(1,2) (D)(-,-3)和(4,+)解析:因为f(-3)f(-1)0,f(2)f(4)0.故选A.7.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一实根0,则f(-1)f(1)的值(D)(A)大于0 (B)小于0(C)等于0 (D)无法判断解析:如图,根据连续函数零点的性质,若f(-1)f(1)0,则f(x)在(-1,1)内必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)内有实根;反之,若方程f(x)=0在(-2,2)内有实根,不一定有f(-1)f(1)0.故选D.8.下面是函数f(x)在区间1,2上的一些点的函数值.x11.251.3751.406 51.4381.51.611.8752f(x)-2-0.9840.260-0.0520.1650.625-0.3154.356由此可判断:方程f(x)=0在1,2上解的个数(A)(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在1,2上至少有5个解.9.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是 .x-10123f(x)-0.6773.0115.4325.9807.651g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892解析:令F(x)=f(x)-g(x),因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)0,F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.4510,于是F(0)F(1)0,F(3)0,故只有区间(0,1).答案:(0,1)10.(xx广西四校期中联考)已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x0,2的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=10,f(2)=-0,所以f(0)f(2)=-0,由此可得f(1)f(2)=-0,下一个有解区间为(1,2),再x2=(1+2)=,得f()=-0,由f(1)f()=-bc,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;(2)设x1,x2R,x1bc,所以a0,c0,即ac0.所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,所以f(x)必有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-f(x1)+f(x2),则g(x1)=f(x1)-f(x1)+f(x2)=f(x1)-f(x2).g(x2)=f(x2)-f(x1)+f(x2)=f(x2)-f(x1).因为g(x1)g(x2)=-f(x1)-f(x2)2,且f(x1)f(x2),所以g(x1)g(x2)0.所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.所以方程f(x)=f(x1)+f(x2)必有一实根属于区间(x1,x2).
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