3.1 表示力学量的算符

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主讲教师:迭东,量 子 力 学,Quantum mechanics,第 三 章量子力学中的力学量,The Dynamical variable in Quantum Mechanics,引言,Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但,波函数,并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念,-,算符,，用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。,这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我们学习中的重点。,主要内容,Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,3.1,表示力学量的算符,operator for dynamical variable,3.2,动量算符与角动量算符,momentum operator and angular momentum operator,3.3,电子在库仑场中的运动,The motion of electrons in Coulomb field,3.4,氢原子,Hydrogen atom,3.5,厄米算符本征函数的正交性,Orthonormality,for,eigenfunction,of,Hermitean,operators,3.6,力学量算符与力学量的关系,Relationship between O,perator and dynamical variable,3.7,算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle,3.8,力学量随时间的变化 守恒律,The dynamical variable with respect to time.The conservation laws,3.1,表示力学量的算符,Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,(1),算符的定义,算符是指,对一函数作用得到另一函数的运算符号,称为算符,Ex.,(2),算符的相等,3.1,表示力学量的算符,(,续,1),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,(3),算符的相加,(4),算符的相乘,3.1,表示力学量的算符,(,续,2),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,(5),线性算符,注,意,(,6,),算符的本征,方程,3.1,表示力学量的算符,(,续,3),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,如果算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以,即,此称为算符 的本征方程,称为其本征值，为属于 的本征函数。,(,7,),构造力学量算符的规则,若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。,Ex.,3.1,表示力学量的算符,(,续,4),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量,F,的算符是将经典表示中的坐标变量 换成坐标算符,对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题将另外讨论。,即,必须注意的问题,有了表示,力学量算符的规则后，那么算符和它表示的力学量之间的关系如何？,3.1,表示力学量的算符,(,续,5),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,(,8,),力学量算符与力学量测量值的关系,在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而是有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符，提出一个,基本假定：,如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 在该本征态中的本征值。,3.1,表示力学量的算符,(,续,6),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,(,9,),厄米算符及其性质,厄米算符的定义,若对于,任意,两函数 和 ，算符 满足等式,则称 为,厄米算符,厄米算符的性质：,厄米算符的本征值必为实数,设 为厄米算符,，其,本征方程,Prove:,（实数）,3.1,表示力学量的算符,(,续,7),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,3.1,表示力学量的算符,(,续,8),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,3.1,表示力学量的算符,(,续,9),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,(,10,),量子力学中表示力学量的算符都是线性,厄米算符,3.2,动量算符与角动量算符,Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,(1),动量算符,动量算符的厄密性,使用波函数在无穷远,处趋于零的边界条件,动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,1,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,动量算符的本征方程及求解,本征方程：,按分离变量法，,令,归一化常数,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,2,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,归一化系数的确定,连续的本征函数一般是不能归一化的,因此对于连续谱的本征函数一般归一化为,函数,函数的性质,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,3,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,为了确定,C,的数值，计算积分,取,这正是自由粒子的,de Broglie,波的空 间部分波函数。,动量本征值构成连续谱,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,4,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,若粒子处在边长为,的立方体内运动，则可用所谓箱归一化方法确定常数,C,。,当粒子被限制在边长为 的立方体内时，本征函数,满足周期性边界条件,x,y,z,o,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,5,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,本征值,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,6,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,由归一化条件,这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱，粒子动量的本征态为束缚态,。,归一化本征函数,自由粒子波函数,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,7,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,结果讨论,从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；在连续谱情况下，归一化为,函数。,在自由粒子波函数 所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,由 可以看出，相邻两本征值的间隔 与 成反比。当 足够大时，本征值间隔可任意小；当 时，,，即离散谱连续谱,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,8,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,轨道角动量算符的定义,球 坐 标,x,z,r,y,(2),角动量算符,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,9,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,利用直角坐标与球坐标之间的变换关系，求各偏导数,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,10,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,由上面结果得,则角动量算符 在球坐标中的表达式为：,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,11,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,角动量平方算符,本征方程,为保证其厄密性，要求波函数应满足周期性条件,在球坐标系中,即,的本征值问题,本征值,:,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,12,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,可见，微观系统的角动量在,z,方向的分量只能取分离值,(,零或 的整数倍,),。由于,z,方向是任意取定的，所以,角动量在空间任意方向的投影是量子化的,。,其中 称为磁量子数,本征函数,由归一化条件,归一化本征函数,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,13,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,正交性：,本征方程,:,在球坐标系中,令,将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：,的本征值问题,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,14,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,此为球面方程（球谐函数方程）。其中 是,属于本征值 的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在,区域内的有限单值函数解,（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述）,，可得,的本征值,磁量子数,角量子数,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,15,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,的本征值,:,可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值,球谐函数 是 属于本征值 的本征函数，是缔合勒让德多项式，满足正交,-,模方条件：,是 属于本征值 的本征函数，,正交模方条件,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,16,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,由 的正交归一化条件,求得归一化因子,:,注意,（,a,）球谐函数系 是 与 有共同的本征函数系,（,2,）简并情况,在求解 本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数 。,3.2,动量算符与角动量算符,(,续,17,),Chapter 3.The Dynamical variable,in Quantum Mechanics,Ex:,简并度为,1,即 属于本征值 的线性独立本征函数,共有 个。因此,的本征值 是,度简并的,。,的本征值 仅