第9章微分方程初值问题的数值解法课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 微分方程初值问题的数值解法,内容提纲,引言,Euler,法及其改进,Runge-Kutta,方法,线性多步法,误差分析,数值解法的收敛性、相容性和稳定性,边值问题数值解法简介,引言,初值问题的数值解法:求初值问题的解在一系列节点的值,y,(,x,n,)的近似值,y,n,的方法,.本章数值解法的特点:都是采用“步进式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步步向前推进.,基本知识:,(1),定理1:,如果函数,f,(,x,y,)在区域 上连续,且关于,y,满足Lipschitz条件,常微分方程初值问题:,求未知函数,y,=,y,(,x,).,此时,Lipschitz条件显然成立.故常用 在,D,上连续有界来代替,f,(,x,y,)关于,y,满足Lipschitz条件.,注:,如无特别说明,总假设(1)的解存在唯一且足够光滑.在,f,(,x,y,)对变量,y,可微的情形下,若偏导数 连续有界,则可取,L,为,除了要保证(1)有唯一解外,还需保证微分方程本身是稳定的,即(1)的解连续依赖于初始值和函数,f,(,x,y,).也就是说,当初始值,y,0,及函数,f,(,x,y,)有微小变化时,只能引起解的微小变化.,(其中,L,称为Lipschitz常数),则对任何 ,初值问题(1)在,a,b,上存在唯一连续可微解,y,=,y,(,x,).,定理2:,如果函数,f,(,x,y,)在区域 上关于,y,满足Lipschitz条件,则(1)是稳定的.,单步迭代:,计算,y,n,+1,时仅用,y,n,;,初值问题(1)与下列积分方程的解等价:,初值问题的数值解就是求一系列节点,上函数,y,=,y,(,x,)的近似值 .,称为步长.一般取等步长,h.,多步迭代:,计算,y,n,+1,时除用,y,n,外,还要用到,y,n,-,1,y,n,-,2,;,k,步迭代要用到,y,n,-,1,y,n,-,2,y,n,-,k,+1,.,显式单步迭代,:,隐式单步迭代,:,(2),一、Euler方法及其改进,将,a,b,n,等分,记,微分法:,积分法:,积分项利用矩形公式计算,1.显式Euler方法,(),Taylor公式推导:,Euler公,式几何意义:,P,1,P,2,P,k,也称折线法,P,0,x,y,2.梯形法,称之为梯形公式.这是一个隐式公式,通常用迭代法求解.具体做法:,取,先用Euler法求出初值 ,即 ,将其代入梯形公式的右端,使之转化为显式公式,即,注:,当,f,(,x,y,),关于,y,满足,Lipschitz,条件且步长,h,满足,直至满足:,若采用梯形公式计算,(),中的积分项,则有,类似地,可得,(),时,迭代格式,(),收敛,.,3.改进的Euler方法,把Euler法作为预报(称为预估公式),把隐式的梯形公式作为校正(称为校正公式,),则得改进的Euler方法:,或,也称为预估-校正法.,有时为了方便,预估-校正格式也写成下面形式:,二、单步法的局部截断误差及精度,Def,1:,先假设 ,再估计误差,这种误差称为单步迭代法在,x,k,+1,处的局部截断误差.,Def,2:,若某种数值方法的局部截断误差为 ,则称该数值方法的精度为,P,阶的.,注:,通常情况下,P,越大,h,越小,则截断误差越小,数值方法越精确.,设,1,0,.Euler方法是一阶方法.,所以Euler方法为一阶方法.,而,2,0,.梯形法是二阶方法.,Taylor展开,将 代入上式,得,而,代入上式得:,当,h,充分小时,若 ,则可选取,h,使得,故梯形法的精度为,2,.,同样可以证明,改进的Euler法也是二阶方法,.,梯形法的,局部截断误差,为:,从而,例1:,取步长,h=,2/10,2/20,2/30,2/40,分别用欧拉法、改进的欧拉法和梯形法求解.,解:,记,f,(,x,y,)=,y x y,2,x,k,=,k h,(,k=,0,1,2,n,),(1).Euler法:,y,k+,1,=,y,k,+h,(,y,k,x,k,y,k,2,)(,k=,0,1,n,),y,0,=1,当,h=,2/10时,n,=10.由Euler公式可得:,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.2,1.3824,1.506,1.53504,1.46503,k,5,6,7,8,9,y,k+,1,1.32877,1.17077,1.02113,0.89169,0.783788,(2).,改进的,Euler法:,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.1912,1.34384,1.42348,1.41905,1.3473,k,5,6,7,8,9,y,k+,1,1.23726,1.11424,0.994151,0.884751,0.788666,(3).,梯形法,(,计算过程略,),n,10 20 30 40,h,0.2 0.1 0.0667 0.05,误差,0.1059 0.0521 0.0342 0.0256,Euler法误差:,改进的Euler法误差:,n,10 20 30 40,h,0.2 0.1 0.0667 0.05,误差,0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e,-,004,预-校方法,h,=0.2时,误差最大值:0.0123,欧拉方法,h,=0.2时,误差最大值:0.1059,解析解:,三、,Runge-Kutta,方法,1、,Taylor 级数,法,设初值问题 有解,y,(,x,),由Tayler公式得,:,令,当 时,有 .此时为,p,阶Taylor方法.,p,=1时即为Euler公式.,称之为Taylor级数法.其中,例2:,取步长,h,=0.1,用一阶、二阶和四阶Taylor方法求解下列初值问题,解:(1)一阶Taylor法,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.1,1.221,1.37008,1.55779,1.80046,(2)二阶Taylor法,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.11,1.24689,1.42175,1.65263,1.97088,(3)四阶Taylor法,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.1111,1.24996,1.42848,1.66644,1.99942,记,由,得,称为,x,k,x,k,+1,上的平均斜率.故,2、,Runge-Kutta,方法,只要对,K,*提供不同的算法,就会得出不同的计算公式.如取,则得改进的Euler公式,它是利用,x,k,x,k,+1,两点的斜率值,K,1,K,2,的算术平均值作为,K,*,精度比Euler法高.,则得Euler公式;取,Runge-Kutta法的,基本思想,:,设法在,x,k,x,k,+1,内多预报几个点的斜率,再将它们的加权平均值作为平均斜率,K,*,一般显式Runge-Kutta公式,为:,其中 为待定参数,且 .称为,r,级Runge-Kutta方法计算公式.,注:,式中待定参数的确定:,先将式右端在(,x,k,y,k,)处展成,h,的幂级数(即将,y,k,+1,展成,h,的幂级数);再将,y,(,x,k,+1,)作Taylor 级数展开;最后比较两式中,h,k,(,k,=0,1,2,)的系数,以确定出所有待定参数.,即可得,p,个方程,从而确定出待定参数.代入表达式即可得到计算公式.如果要求两个表达式的前p+1项完全重合,即局部截断误差达到 ,则称式为,p,阶,r,级,的Runge-Kutta方法.常用的是,r,=2,3,4,级的R-K方法,且适当选取参数使得,p,=,r,.,如要求:,Runge-Kutta方法的推导,(以,r,=2为例):,当,r,=2 时,则,记,又,(1),常用的二阶Runge-Kutta方法,:,预估-校正算法,(2),这是一个四个参数三个方程的非线性方程组.它有一个自由度.称满足上述方程组的一族公式为二级二阶Runge-Kutta方法.,为使局部截断误差为 ,比较上述两式右端同次幂系数,应,取,注:,二级Runge-Kutta方法的精度最高是二阶的,不可能达到三阶.要提高计算方法的阶,就必须增加预报点.,常用的三阶Runge-Kutta方法(,r,=3):,(1),Heun(休恩)方法,中间点方法,(3),三阶Kutta方法,(1),三阶Heun方法,标准(经典)四阶Runge-Kutta方法,(2),常用的四阶Runge-Kutta方法(,r,=4):,(2),称为Gill(吉尔)方法,注:,从理论上讲,可以构造任意高阶的计算方法.但事实上,精度的阶数与预报点的个数之间并非等量关系.,预报点的个数,r,1,2,3,4,5,6,7,8,9,r,10,精度的阶数,1,2,3,4,4,5,6,6,7,r,-,2,一般情况下,四阶Runge-Kutta方法已可满足精度要求.,例3:,用经典Runge-Kutta方法求解下列初值问题(取,h,=0.1),解:,标准Runge-Kutta公式为:,计算结果见下表.为比较在相同计算量条件下近似解的精度,表中列出了Euler法(,h,=0.025)和改进的Euler法(,h,=0.05)在相应节点上的计算结果.,x,i,Euler,法,h,=0.025,改进Euler法,h,=0.05,经典R-K法,h,=0.1,准确解,0.1,1.111439,1.115380,1.115512,1.115513,0.2,1.255209,1.263914,1.264208,1.264208,0.3,1.434667,1.449089,1.449576,1.449576,0.4,1.653517,1.674756,1.675473,1.675474,0.5,1.915849,1.945171,1.946162,1.946164,0.6,2.226178,2.265040,2.266354,2.266356,0.7,2.589485,2.639561,2.641255,2.641258,0.8,3.011271,3.074479,3.076619,3.076623,0.9,3.497606,3.576144,3.578804,3.578809,1.0,4.055192,4.151573,4.154839,4.154845,注:,用表中每种方法计算,y,i,都需要计算四次,f,的值,即它们的计算量基本相等.,四、,单步,法的进一步讨论,收敛性、相容性与稳定性,注:,由定义可知,数值方法的收敛性并不涉及计算过程的舍入误差,只与方法的截断误差有关.若格式收敛,则整体截断误差必趋于零.,Def,:,(整体截断误差),称,为某一数值方法在点,x,k,处的整体截断误差.它不仅与,x,k,有关,也与,x,k,-1,x,k,-2,x,1,x,0,有关.,则称该单步法收敛.,Def,:,对满足解存在唯一性条件的初值问题(1),如果一个显式单步法(3)产生的近似解对于任一固定的 ,均有,1.收敛性,由于 ,且 关于,y,满足Lipschitz条件,得,则存在常数,c,0 使得,且单步法中函数 关于,y,满足Lipschitz条件,则,定理1:,若初值问题的一个单步法的局部截断误差为,记,证:由局部截断误差的定义知,故,从而有,故,若,y,(,x,0,)=,y,0,则,e,0,=0,由不等式,得,设单步法为,注:定理表明,数值方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.收敛的方法至少是一阶方法.在该定义条件下,Euler方法是一阶的,预估-校正方法是二阶.当,f,(,x,y,)关于,y,也满足Lipschitz条件,r,级Runge-Kutta方法中的,关于,y,也满足Lipschitz条件,故定理中的条件得到满足,解的收敛性得到保证.,由于,R,n,h,0(,h,0),且,x,n,为任意点,故该式相当于用近似方程,当,x,=,x,n,+1,固定时,所以有,2.相容性,通过在,x,=,x,n,处求解近似方程而获得原方