2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(平行班含解析).doc

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(平行班，含解析)一、选择题（每小题5分，共60分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，中至少有一个偶数”正确的反设为（ ）A.，都是奇数 B.，都是偶数C.，中至少有两个偶数 D.，中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】结论：“自然数中恰有一个偶数”的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选D.2.下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和运算法则，逐一检验即可.【详解】由求导公式知sinx=cosx 故A错误，3x=3xln3，故C错误，1x=-1x2，故D错误，B选项正确，故选B.【点睛】本题主要考查了常见函数的求导公式，属于容易题.3.用数学归纳法证明等式1+2+3+n+3=n+3n+42nN*时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（ ）A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4【答案】D【解析】【分析】根据所给式子可知左边为1+2+(1+3)，可知正确选项.【详解】当n=1时，左边应为1+2+(1+3)，即1+2+3+4，故选D.【点睛】本题主要考查了数学归纳法及归纳推理的能力，属于容易题.4.向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h随时间变化的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢，可知选C.【详解】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C.【点睛】本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题.5.若双曲线x2a2y2b2=1的一条渐近线方程为x3+y=0则此双曲线的离心率为（ ）A. 103 B. 31010 C. 10 D. 22【答案】A【解析】试题分析：由条件知，ba=3，所以e=1+(ba)2=1+19=103，所以选C.考点：双曲线的几何性质.6.若平面与的法向量分别是a=2,4,3，b=1,2,2，则平面与的位置关系是（ ）A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】根据所给向量可知其数量积为零，故知两向量垂直.【详解】因为ab=（2,4,3)(1,2,2)=0，所以ab，所以两平面垂直.【点睛】本题主要考查了平面的法向量，向量的数量积，利用法向量判断平面的位置关系，属于中档题.7.已知ABC的顶点B，C在椭圆x216+y29=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC上，则ABC的周长是（ ）A. 8 B. 12 C. 83 D. 16【答案】D【解析】ABC的顶点B，C在椭圆x216+y29=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，由椭圆的定义可得：ABC的周长是4a=44=16故答案为：C。8.下列选叙述错误的是（ ）A. 命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”B. 若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题C. “若am2bm2，则a2”是“x23x+20”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据四种命题的关系及且或命题的真假逐一判断各选项即可.【详解】由逆否命题概念知A选项正确，根据或命题真假可知p,q至少一个命题为真，故p，q均为真命题错误，C选项中，原命题的否命题为“若am2bm2,则ab ”，当m=0时，am2bm2成立，推不出ab，命题不成立，是假命题，D选项中x2能推出x2-3x+20成立，x2-3x+20推不出x2，所以“x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件，所以选B.【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，含且或命题的真假，及充分必要条件，属于中档题.9.如图，空间四面体DABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则FEDC等于（ ）A. 14 B. 14 C. 34 D. 34【答案】A【解析】试题分析：空间四面体D一ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点FE=12DB,|DB|=|DC|=1,BDC=3 FEDC=12DBDC=1211cos3=14考点：平面向量数量积的运算10.设F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作倾斜角为30的直线交C于A、B两点，则AB=（ ）A. 323 B. 16 C. 32 D. 43【答案】C【解析】【分析】写出直线方程，联立抛物线方程消元，可根据弦长公式求出弦长.【详解】由题意知F（2,0），AB所在直线方程为y=tan30(x2)=33(x2) ，联立y2=8x消元得y283y16=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=83,y1y2=16，所以|AB|=1+3643+416=32，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题.11.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲【答案】C【解析】甲乙丙丁甲乙丙丁由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙，选B.12.如图，在ABC中，CAB=CBA=30，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）A. 3 B. 1 C. 23 D. 2【答案】A【解析】若是椭圆，则|DA|+|DB|=2a，|AC|=2c ，|DA|=3|DB|，|AB|=2|DB| ，而椭圆的离心率e1=ca=|AB|DA|+|DB|=2|DB|3|DB|+|DB|=31 ，若是双曲线，则|DA|DB|=2a，e2=ca=|AB|DA|DB|=2|DB|3|DB|DB|=3+1，所以1e1+1e2=131+13+1=3+12+312=3，故选A.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量a=1,x,3，b=2,4,y，且ab，那么x+y等于_【答案】-4【解析】【分析】根据向量平行，可求出x,y,即可求解.【详解】a/b a=b ,即1=2x=43=y ，解得x=2y=6 ，x+y=4.【点睛】本题主要考查了向量平行及向量的坐标运算，属于中档题.14.平面内动点P到点F0,2的距离和到直线：y=2的距离相等，则动点P的轨迹方程为是_【答案】x2=8y【解析】【分析】根据抛物线定义知，动点轨迹为抛物线，焦点F,准线为y=2，p=4，即可写出抛物线方程.【详解】由题意知，该点轨迹是以F（0,2）为焦点，y=2为准线的抛物线，其中p=4，所以方程为x2=8y.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题.15.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第xx次互换座位后，小兔的座位对应的编号为_【答案】2【解析】【分析】根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解.【详解】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为2018=4504+2，所以经过xx次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置.【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.16.已知椭圆C：x24+y2=1，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，则PF1PF2的范围为_【答案】2,1【解析】【详解】由题意，得x24+y2=1的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0)，设P(2cos,sin)，则PF1=(-3-2cos,-sin)PF2=(3-2cos,-sin)，PF1PF2=(-3-2cos)(3-2cos)+sin2=sin2+4cos2-3=3cos2-2；又因为0cos21，所以-23cos2-21，即PF1PF2 范围为-2,1.【点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算.三、解答题（共6小题，共70分）17.设命题p：方程x2a+6+y2a7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在xR，使得x24x+a0（1）写出命题q的否定q；（2）若“p且q”为真，求实数的取值范围。【答案】（1）q：对任意的xR，x24x+a0;（2）4,7【解析】【分析】（1）根据命题否定特征即可写出（2）由题意知p真q假，分别得出相应条件求交集即可.【详解】（1）q：对任意的xR，x2-4x+a0（2）因为“p且q”为真所以p真，q真又p真时，a+6a-70 得-6a0，用综合法证明：a3+b3a2b+ab2；（2）用分析法证明：6+722+5.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题目可采用作差法求证（2）用分析法，采用平方的方法可证明【详解】（1）a3+b3(a2b+ab2)=a2(ab)+b2(ba)=(ab)(a2b2)=(ab)2(a+b) 而(ab)20，a+b0 a3+b3(a2b+ab2)0a3+b3a2b+ab2 （2）要证6+722+5，只需证(6+7)2(22+5)2，即证42210，只需证(42)2(210)2，即4240，而4240显然成立，故原不等式得证.【点睛】本题主要考查了证明方法中的综合法及分析法，属于中档题.用分析法证明问题时，注意证明的格式，是从结论出发寻求结论成立的条件.19.如图，EA面ABC，BD面ABC，ACBC，AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中点，（1）求直线EM与CD所成角的大小；（2）求直线EM与平面BCD所成角的余弦值。【答案】（1）90（2）63【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角计算即可（2）利用直线上的向量与平面的法向量的夹角即可得出.【详解】如图，以点C为坐标原点，以CA、CB所在的直线分别为x轴、y轴，过点C与平面ABC垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则C0,0,0， A2,0,0， B0,2,0， E2,0,1，D0,2,2，M1,1,0（1）EM=-1,1,-1， CD=0,2,2所以cos=cos=0所以直线EM与CD所成角的大小为90；（2）EM=-1,1,-1，平面BCD的法向量可取n=1,0,0所以sin=cos=13=33,cos=1sin2=63【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角公式，属于中档题题.求线面角时，取斜线上任意一向量，求其与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值，即为线面角的正弦值.20.（1）已知曲线y=x3，求曲线在x=1处的切线方程；（2）已知直线y=kx1与曲线y=lnx相切，求k的值。【答案】（1）3xy2=0 （2）1【解析】【分析】（1）利用导数几何意义求斜率即可（2）设切点为x0,y0，根据两函数在该点导数相等及该点为公共点列方程组即可求解.【详解】（1）切点为1,1 又y=3x2 所以k切=3所以切线方程为：3x-y-2=0（2）设切点为x0,y0，又y=1x所以y0=kx0+1k=1x0y0=lnx0x0=1y0=0k=1【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.21.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，ABC=60，PA面ABCD，PA=4，F是棱PA上一点，且AF=1，E为PD的一个靠近D点的三等分点。（1）求证：CE面BDF（2）求平面BDF与平面PAD所成的锐二面角的余弦值。【答案】（1）见解析；（2）1510【解析】【分析】（1）以AD，AP所在的直线分别为y轴、轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，求平面BDF的法向量，可证明与CE垂直，从而得证（2）求出两个平面的法向量，求其夹角余弦值即可得出二面角的余弦值.【详解】以点A为坐标原点，以AD，AP所在的直线分别为y轴、轴，建立空间直角坐标系如图。则A0,0,0，D0,4,0，P0,0,4，F0,0,1，B23,-2,0，C23,2,0（1）CE=CD+13DP=-23,23,43设面BFD的法向量为n=x,y,z，又BD=-23,6,0，DF=0,-4,1所以-23x+6y=0-4y+z=0 取y=1 得n=3,1,4所以CEn=-6+23+163=0 即CEn又CE面BDF 所以CE面BDF（2）由（1）面BFD的法向量为n=3,1,4又面PAD的法向量可取n1=1,0,0所以cos=cos=33+1+161=1510【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线与平面平行，利用空间向量求两个平面的二面角，属于中档题.利用向量法求二面角时，注意法向量的夹角余弦与二面角余弦的关系，可能相等，也可能互为相反数.22.已知椭圆C以F11,0，F21,0为焦点，且离心率e=22（1）求椭圆C的方程；（2）过M0,2点斜率为k的直线l1与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围；（3）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在直线l1，满足（2）中的条件且使得向量OP+OQ与AB垂直？如果存在，写出l1的方程；如果不存在，请说明理由。【答案】(1)x22+y2=1；(2)-,-2222,+；(3)答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得c,根据离心率可求出,即可写出方程（2）写出直线方程，联立方程组消元，通过判别式大于0求得k的取值范围（3）利用向量的坐标，可计算OP+OQ与AB的数量积为0时，k不满足0,故不存在.【详解】（1）设椭圆C的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、b、由题设知：c=1由e=ca=1a=12，得a=2，则b=1椭圆C的方程为x22+y2=1（2）过M0,2点斜率为k的直线l1：y-2=kx即l1：y=kx+2与椭圆C方程联立消y得2k2+1x2+42x+2=0“*”由l1与椭圆C有两个不同交点知其=32k2-82k2+10得k22k的范围是-,-2222,+（3）设Px1,y1、Qx2,y2，则x1、x2是“*”的二根则，则则由题设知、，若，须得不存在满足题设条件的.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、离心率，直线与椭圆的位置关系，属于难题.设直线方程时，要考虑斜率存不存在两种情况，最后还要考虑计算出的k是否符合条件.