2018-2019学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 二 平行线分线段成比例定理同步指导练习 新人教A版选修4-1.doc

二 平行线分线段成比例定理 一、基础达标 1.如图所示，△ACE的中点B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是(　　) A.BD∥CE⇒＝ B.BD∥CE⇒＝ C.BD∥CE⇒＝ D.BD∥CE⇒＝ 解析　由平行线等分线段定理的推论，易知A，B，C都正确，D错. 答案　D 2.如图所示，AD是△ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为(　　) A.2∶1 B.3∶1 C.4∶1 D.5∶1 解析　过D作DG∥AC交BE于G， 则DG＝EC，又∵AE＝2EC， ∴AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1. 答案　C 3.如图所示，在梯形ABCD中，BC∥AD，E是DC延长线上一点，AE交BD于点G，交BC于点F，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数是(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析　∵BC∥AD，∴①＝对， ②＝对， ④∵＝，∴＝， 故④也对.③错. 答案　C 4.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________. 解析　∵DE∥BC，EF∥CD，BC＝3，DE＝2，∴＝＝＝，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又＝，∴AB＝. 答案　 5.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝2，EC＝1，BC＝4，则BF＝________. 解析　∵DF∥AC，∴＝＝. ∴BF＝4＝. 答案　 6.如图所示，在▱ABCD中，H，E分别是AD，AB延长线上一点，HE交DC于K，交AC于G，交BC于F. 求证：GHGK＝GEGF. 证明　要证GHGK＝GEGF，即证＝. 由AD∥BC得＝， 由AB∥CD得＝， ∴＝，即GHGK＝GEGF. 7.如图所示，已知有▱ABCD，点N是AB延长线上一点，DN交BC于点M，则－为(　　) A. B.1 C. D. 解析　由CD∥BN得＝，又四边形ABCD为平行四边形，故AB＝CD，∴＝，∴－＝－＝＝＝1. 答案　B 二、能力提升 8.如图所示，AB∥GH∥CD，AB＝2，CD＝3，则GH的长是________. 解析　∵AB∥GH，∴＝，∵GH∥CD，∴＝，∴＋＝＋＝1，∴GH＝. 答案　 9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________. 解析　∵EF∥AB，且EF＝3＝(AB＋CD)， ∴EF是梯形中位线，设梯形ABFE的高为h， ∴S梯形ABFE＝(4＋3)h＝h，S梯形EFCD＝(2＋3)h＝h， ∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝h∶h＝. 答案　 10.已知AD∥EF∥BC，点E，F分别在AB，CD上，AE∶BE＝2∶3，AD＝10 cm，BC＝15 cm，求EF的长. 解　如图，连接BD交EF于点G. ∵＝， ∴＝，＝. ∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝. ∵BC＝15 cm，∴GF＝6 cm. 同理可得EG＝6 cm.∴EF＝EG＋GF＝12 cm. 11.如图所示，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值. 解　过D作DG∥CA交BF于G，则＝＝. ∵E为AD的中点，DG∥AF， ∴△DGE≌△AFE，EG＝EF. ∴＝＝＝2＝. 故＝＝＋1＝＋1＝. 三、探究与创新 12.在△ABC中，点D在BC边上，过点C任作一直线与边AB及AD分别交于点F，E. (1)如图(1)所示，DG∥CF交AB于点G，当D是BC边的中点时，求证：＝； (2)如图(2)所示，当＝时，求证：＝； (3)如图(3)所示，当＝时，猜想：与之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由. (1)证明　∵DG∥CF，BD＝DC， ∴BG＝FG＝BF.∵EF∥DG，∴＝. ∴＝＝. (2)证明　过点D作DG∥CF交AB于点G，如题图(2)所示， ∴＝.又＝，∴DC＝2BD＝BC. ∵DG∥FC，∴＝＝. ∴FG＝BF.∴＝＝. (3)解　当＝时，有关系式：＝. 证明如下：如题图(3)所示，过点D作DG∥CF交AB于点G，∴＝.又∵＝，∴＝， ∵DG∥FC，∴＝＝， ∴FG＝BF，∴＝＝.