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课时训练21 直角三角形及勾股定理
限时:30分钟
夯实基础
1.下列各组数据中三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A.3,4,5 B.1,2,3 C.6,7,8 D.2,3,4
2.如图K21-1,△ABC中,∠C=90,∠A=30,AB=12,则BC=( )
图K21-1
A.6 B.62 C.63 D.12
3.如图K21-2,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )
图K21-2
A.2 B.22 C.2+1 D.22+1
4.[xx扬州]如图K21-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是( )
图K21-3
A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC
5.选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45”时,应先假设( )
A.∠A>45,∠B>45 B.∠A≥45,∠B≥45
C.∠A<45,∠B<45 D.∠A≤45,∠B≤45
6.[xx徐州]如图K21-4,Rt△ABC中,∠ABC=90,D为AC的中点,若∠C=55,则∠ABD= .
图K21-4
7.[xx黄冈]如图K21-5,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
图K21-5
8.[xx淮安]如图K21-6,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 .
图K21-6
9.[xx荆门]如图K21-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠BAC=30,E为AB边的中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.
(1)求证:△ADE≌△CDB;
(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.
图K21-7
能力提升
10.[xx东营]如图K21-8,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC的内部,∠DAE=∠BAC=90,AD=AE,AB=AC,给出下列结论:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.
其中正确的是( )
图K21-8
A.①②③④ B.②④ C.①②④ D.①③④
11.如图K21-9,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=46,则FD的长为( )
图K21-9
A.2 B.4 C.6 D.23
12.[xx铜仁]在直角三角形ABC中,∠ACB=90,D,E是边AB上两点,且CE所在直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,BC=23,则AB= .
图K21-10
13.[xx齐齐哈尔]如图K21-11,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.
(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;
(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.
图K21-11
拓展练习
14.[xx十堰]如图K21-12,Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=3,AC=62,点D,E分别是边BC,AC上的动点,则DA+DE的最小值为 .
图K21-12
15.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图K21-13①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系是 .
(2)如图②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明.
(3)如图③,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
图K21-13
参考答案
1.B 2.A 3.B
4.C [解析] 根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A,根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE,再结合
∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE,利用等角对等边即可得出BC=BE.
∵∠ACB=90,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90,∠ACD+∠A=90,∴∠BCD=∠A.∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE.故选C.
5.A
6.35
7.20 [解析] 如图,点E与点A关于直线l对称,连接EB,即为蚂蚁爬行的最短路径,过点B作BC⊥AE于点C,则Rt△EBC中,BC=322=16(cm),EC=3+14-5=12(cm),所以EB=EC2+BC2=20(cm).
8.1.6 [解析] 连接AD,
由作法可知AD=BD,在Rt△ACD中,AC=3,设CD=x,则AD=BD=5-x,
由勾股定理,得CD2+AC2=AD2,即x2+32=(5-x)2,解得x=1.6.
故答案为1.6.
9.解:(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=30,E为AB边的中点,∴BC=EA,∠ABC=60.
∵△DEB为等边三角形,∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60,
∴∠DEA=120,∠DBC=120,∴∠DEA=∠DBC,∴△ADE≌△CDB.
(2)如图,作点E关于直线AC的对称点E,连接BE交AC于点H.则点H即为符合条件的点.
由作图可知:EH+BH=BE,AE=AE,∠EAC=∠BAC=30,
∴∠EAE=60,∴△EAE为等边三角形,∴EE=EA=12AB,∴∠AEB=90.
在Rt△ABC中,∠BAC=30,BC=3,∴AB=23,AE=AE=3,
∴BE=AB2-AE2=(23)2-(3)2=3,
∴BH+EH的最小值为3.
10.A [解析] ∵∠DAE=∠BAC=90,AB=AC,
∴∠DAE+∠EAB=∠CAB+∠EAB,∠ABC=∠ACB=45,即∠DAB=∠EAC.
∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE,∠DBA=∠ECA,故①正确.
∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45,故②正确.
∵∠ABC=45,∴在△EBC中,∠EBA+∠ABC+∠ECB=90,
∴∠BEC=90,即BD⊥CE,故③正确.
在Rt△BEC中,BE2=BC2-CE2,
在Rt△DEC中,CE2=DC2-DE2,
∴BE2=BC2-CE2=BC2-(DC2-DE2)=BC2+DE2-DC2.
∵Rt△ABC与Rt△ADE都是等腰直角三角形,
∴BC2=2AB2,DE2=2AD2,
∴BE2=2AD2+2AB2-DC2=2(AD2+AB2)-DC2,故④正确.
故选A.
11.B
12.4 [解析] 根据CE垂直平分AD,得AC=CD,再根据等腰三角形的三线合一得∠ACE=∠ECD,结合角平分线定义和∠ACB=90,得∠ACE=∠ECD=∠BCD=30,所以∠ACD=∠ADC=∠A=60,∠B=∠BCD=30,在Rt△ACB中,∠B=30,BC=23,∴AB=4.
13.解:(1)证明:∵AD⊥BC于D,∴∠BDG=∠ADC=90,
∵BD=AD,DG=DC,∴△BDG≌△ADC(SAS),∴BG=AC.
∵AD⊥BC于D,E,F分别是BG,AC的中点,∴DE=12BG,DF=12AC,∴DE=DF.
∵DE=DF,BD=AD,BE=AF,∴△BDE≌△ADF(SSS),∴∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90,
∴DE⊥DF.
(2)∵AC=10,∴DE=DF=12AC=1210=5.
∵∠EDF=90,∴EF=DE2+DF2=52+52=52.
14.163 [解析] 如图,作A关于BC的对称点A,连接AA,交BC于F,过A作AE⊥AC于E,交BC于D,则AD=AD,此时AD+DE的值最小,就是AE的长.
Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=3,AC=62,∴BC=32+(62)2=9,
S△ABC=12ABAC=12BCAF,∴362=9AF,解得AF=22,∴AA=2AF=42,
∵∠AFD=∠DEC=90,∠ADF=∠CDE,∴∠A=∠C,
∵∠AEA=∠BAC=90,∴△AEA∽△BAC,∴AAAE=BCAC,即42AE=962,
∴AE=163,即AD+DE的最小值是163.
故答案为163.
15.解:(1)AE∥BF QE=QF
(2)QE=QF.
证明:如图①,延长FQ交AE于点D.
∵AE⊥CP,BF⊥CP,∴AE∥BF,∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,AQ=BQ,∴△AQD≌△BQF,∴QD=QF.
∵AE⊥CP,∴QE为斜边FD的中线,∴QE=12FD=QF.
(3)此时(2)中结论仍然成立.
理由:如图②,延长EQ,FB交于点D.
∵AE⊥CP,BF⊥CP,∴AE∥BF,∴∠1=∠D.
∵∠2=∠3,AQ=BQ,∴△AQE≌△BQD,∴QE=QD.
∵BF⊥CP,∴FQ为斜边DE的中线.∴QF=12DE=QE.
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