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三角形的边与角(命题的有关知识) 一.选择题（xx江苏宿迁3分）如图，点D在ABC的边AB的延长线上，DEBC，若A35,C24,则D的度数是（ ）A. 24 B. 59 C. 60 D. 69【答案】B【分析】根据三角形外角性质得DBC=A+C，再由平行线性质得D=DBC.【详解】A=35，C=24，DBC=A+C=35+24=59，又DEBC，D=DBC=59，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.2.（xx江苏宿迁3分）若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是 （ ）A. 12 B. 10 C. 8 D. 6【答案】B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，m=2，n=4，又m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.3.（xx江苏苏州3分）如图，在ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EFCD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF若AB=8，则DF的长为（）A3B4C2D3【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF=EG=4【解答】解：取BC的中点G，连接EG，E是AC的中点，EG是ABC的中位线，EG=AB=4，设CD=x，则EF=BC=2x，BG=CG=x，EF=2x=DG，EFCD，四边形EGDF是平行四边形，DF=EG=4，故选：B【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键4.（xx山东聊城市3分）如图，直线ABEF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若BCD=95，CDE=25，则DEF的度数是（）A110B115C120D125【分析】直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出BCD=DNF=95，再利用三角形外角的性质得出答案【解答】解：延长FE交DC于点N，直线ABEF，BCD=DNF=95，CDE=25，DEF=95+25=120故选：C【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键6.（xx山东聊城市3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ABC外的A处，折痕为DE如果A=，CEA=，BDA=，那么下列式子中正确的是（）A=2+B=+2C=+D=180【分析】根据三角形的外角得：BDA=A+AFD，AFD=A+CEA，代入已知可得结论【解答】解：由折叠得：A=A，BDA=A+AFD，AFD=A+CEA，A=，CEA=，BDA=，BDA=+=2+，故选：A【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键7. （xx杭州3分）如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设 ， ， ， ，若 ， ，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【考点】三角形内角和定理，矩形的性质 【解析】【解答】解：矩形ABCDPAB+PAD=90即PAB=90-PABPAB=80PAB+PBA=180-80=10090-PAB+PBA=100即PBA-PAB=10同理可得：PDC-PCB=180-50-90=40由-得：PDC-PCB-（PBA-PAB）=30 故答案为：A【分析】根据矩形的性质，可得出PAB=90-PAB，再根据三角形内角和定理可得出PAB+PBA=100，从而可得出PBA-PAB=10；同理可证得PDC-PCB=40，再将-，可得出答案。8.（xx湖州3分）如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC，CAD=20，则ACE的度数是（）A. 20 B. 35 C. 40 D. 70【答案】B【解析】分析：先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出CAB=2CAD=40，B=ACB=（180-CAB）=70再利用角平分线定义即可得出ACE=ACB=35详解：AD是ABC的中线，AB=AC，CAD=20，CAB=2CAD=40，B=ACB=（180-CAB）=70CE是ABC的角平分线，ACE=ACB=35故选：B点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出ACB=70是解题的关键9. （xx嘉兴3分）用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内. B. 点在圆上. C. 点在圆心上. D. 点在圆上或圆内.【答案】D【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点应该在圆内或者圆上.故选D.【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.10. （xx嘉兴3分）某届世界杯的小组比赛规则:四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某小组比赛结束后,甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名,各队的总得分恰好是四个连续奇数,则与乙打平的球队是（ ）A. 甲. B. 甲与丁. C. 丙. D. 丙与丁.【答案】B 【考点】推理与论证 【解析】【解答】解：小组赛一共需要比赛场，由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分，当甲是9分时，乙、丙、丁分别是7分、5分、3分，因为比赛一场最高得分3分，所以4个队的总分最多是63=18分，而9+7+5+318，故不符合；当甲是7分时，乙、丙、丁分别是5分、3分、1分，7+5+3+118，符合题意，因为每人要参加3场比赛，所以甲是2胜一平，乙是1胜2平，丁是1平2负，则甲胜丁1次，胜丙1次，与乙打平1次，因为丙是3分，所以丙只能是1胜2负，乙另外一次打平是与丁，则与乙打平的是甲、丁故答案是B。【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分数：每个人都要比赛3场，要是3场全胜得最高9分，根据已知“甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名”和“各队的总得分恰好是四个连续奇数”，可推理出四人的分数各是多少，再根据胜、平、负一场的分数去讨论打平的场数。11. （xx广西玉林3分）如图，AOB=60，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（） A平行B相交C垂直D平行、相交或垂直【分析】先判断出OA=OB，OAB=ABO，分两种情况判断出ABD=AOB=60，进而判断出AOCABD，即可得出结论【解答】解：AOB=60，OA=OB，OAB是等边三角形，OA=AB，OAB=ABO=60当点C在线段OB上时，如图1，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中， ，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，当点C在OB的延长线上时，如图2，同的方法得出OABD，ACD是等边三角形，AC=AD，CAD=60，OAC=BAD，在AOC和ABD中， ，AOCABD，ABD=AOC=60，ABE=180ABOABD=60=AOB，BDOA，故选：A12.（xx福建A卷4分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A1，1，2B1，2，4C2，3，4D2，3，5【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解【解答】解：A.1+1=2，不满足三边关系，故错误；B.1+24，不满足三边关系，故错误；C.2+34，满足三边关系，故正确；D.2+3=5，不满足三边关系，故错误故选：C【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形13.（xx福建B卷4分）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A1，1，2B1，2，4C2，3，4D2，3，5【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解【解答】解：A.1+1=2，不满足三边关系，故错误；B.1+24，不满足三边关系，故错误；C.2+34，满足三边关系，故正确；D.2+3=5，不满足三边关系，故错误故选：C【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形14. （xx广西北海3分）如图，ACD 是DABC 的外角，CE 平分ACD ，若 A =60，B =40，则 ECD 等于（）A.40B.45C.50D.55【答案】C【考点】三角形外角的性质，角平分线的定义【解析】DABC 的外角ACD = A + B = 60 + 40 = 100 ,又因为CE 平分ACD ，所以ACE = ECD = 1 ACD = 1 100 = 50.22【点评】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和15.（xx贵州贵阳3分） 如图，在 DABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG ,其中有一条线段是 DABC 的 中线，则该线段是（ B ）（A）线段 DE（B）线段 BE（C）线段 EF（D）线段 FG16. （xx湖南长沙3.00分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A4cm，5cm，9cmB8cm，8cm，15cmC5cm，5cm，10cmD6cm，7cm，14cm【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论【解答】解：A.5+4=9，9=9，该三边不能组成三角形，故此选项错误；B.8+8=16，1615，该三边能组成三角形，故此选项正确；C.5+5=10，10=10，该三边不能组成三角形，故此选项错误；D.6+7=13，1314，该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可二.填空题1.（xx江苏无锡2分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，故答案为：菱形的四条边相等【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题2.（xx江苏淮安3分）若一个等腰三角形的顶角等于50，则它的底角等于65【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案【解答】解：等腰三角形的顶角等于50，又等腰三角形的底角相等，底角等于（18050）=65故答案为：65【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键3.（xx江苏徐州3分）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切于点D若C=18，则CDA=126度【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA计算求解【解答】解：连接OD，则ODC=90，COD=72；OA=OD，ODA=A=COD=36，CDA=CDO+ODA=90+36=126【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解4.（xx江苏苏州3分）如图，ABC是一块直角三角板，BAC=90，B=30，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F若CAF=20，则BED的度数为80【分析】依据DEAF，可得BED=BFA，再根据三角形外角性质，即可得到BFA=20+60=80，进而得出BED=80【解答】解：如图所示，DEAF，BED=BFA，又CAF=20，C=60，BFA=20+60=80，BED=80，故答案为：80【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等5（xx年湖南省娄底市）如图，P是ABC的内心，连接PA.PB.PC，PAB.PBC.PAC的面积分别为S1.S2.S3则S1S2+S3（填“”或“=”或“”）【分析】过P点作PDAB于D，作PEAC于E，作PFBC于F，根据内心的定义可得PD=PE=PF，再根据三角形面积公式和三角形三边关系即可求解【解答】解：过P点作PDAB于D，作PEAC于E，作PFBC于F，P是ABC的内心，PD=PE=PF，S1=ABPD，S2=BCPF，S3=ACPE，ABBC+AC，S1S2+S3故答案为：【点评】考查了三角形的内切圆与内心，三角形面积和三角形三边关系，关键是由内心的定义得PD=PE=PF三.解答题1.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：OA=OC，AB=CD，BAD=DCB，ADBC请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：构造一个真命题，画图并给出证明；构造一个假命题，举反例加以说明【分析】如果结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果结合，和结合的情况相同；如果结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是，它有可能是等腰梯形【解答】解：（1）为论断时：ADBC，DAC=BCA，ADB=DBC又OA=OC，AODCOBAD=BC四边形ABCD为平行四边形（2）为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断
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