立体几何中球的内切和外接问题(完美版).ppt

球与多面体的内切 外接 球的半径r和正方体的棱长a有什么关系 二 球与多面体的接 切 定义1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个球是这个 定义2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这个球是这个 多面体的外接球 多面体的内切球 剖析定义 1 一 由球心的定义确定球心 在空间 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等 那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心 一 定义法针对讲解 1 求正方体 长方体的外接球的有关问题 2 2 出现正四面体外接球时利用构造法 补形法 联系正方体 求正方体 长方体的外接球的有关问题 例2 全国卷 一个四面体的所有棱长都为 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 A B C D 破译规律 特别提醒 2 球与正四面体内切接问题 3 例3 求棱长为a的正四面体内切球的体积 球与正四面体内切接问题 3 正四面体内切 外接结论 3 球内接长方体的对角线是球的直径 正四面体 棱长为a 的外接球半径R与内切球半径r之比为R r 3 1 外接球半径 内切球半径 结论 正四面体与球的接切问题 可通过线面关系证出 内切球和外接球的两个球心是重合的 为正四面体高的四等分点 即定有内切球的半径 为正四面体的高 且外接球的半径 2 正多面体的内切球和外接球的球心重合 3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合 1 例4 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 过侧棱AB与球心O作截面 如图 在正三棱锥中 BE是正 BCD的高 O1是正 BCD的中心 且AE为斜高 解法1 作OF AE于F 设内切球半径为r 则OA 1 r Rt AFO Rt AO1E 例4 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 解法2 设球的半径为r 则VA BCD VO ABC VO ABD VO ACD VO BCD 注意 割补法 变式训练 一个正方体内接于一个球 过球心作一截面 如图所示 则截面的可能图形是 A 球的内接正方体的对角线等于球直径 变式训练 已知正四面体内接于一个球 某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下 则 A 以下四个图形都是正确的B 只有 是正确的C 只有 是正确的D 只有 是正确的 D 解法2 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点 4 解析 球内接多面体 利用圆内接多边形的性质求出小圆半径 通常用到余弦定理求余弦值 通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 从而解决问题 正棱锥的外接球的球心是在其高上 5 正棱锥的外接球的球心是在其高上 5 测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心 6 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形 则共斜边的中点就是其外接球的球心 7 破译规律 特别提醒 03 例题剖析 针对讲解 2 举一反三 突破提升 04 1 2015海淀二模 已知斜三棱柱的三视图如图所示 该斜三棱柱的体积为 举一反三 突破提升 4 2 2015郑州三模 正三角形ABC的边长为 将它沿高AD翻折 使点B与点C间的距离为 此时四面体ABCD的外接球的体积为 等边三角形 举一反三 突破提升 4 3 2015南昌二模 某几何体的三视图如图 该几何体的顶点都在球O的球面上 球O的表面积是 C 举一反三 突破提升 4 4 2015石家庄一模 三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC两两互相垂直 Q为底面内一点 若Q到三个侧面的距离分别为3 4 5 则过点P和Q的所有球中 表面积最小的球的表面积为 29 考点一考点二考点三 30 考点一考点二考点三 31 32 四棱锥P ABCD 底面ABCD是边长为6的正方形 且PA PB PC PD 若一个半径为1的球与此四棱锥的各个面相切 则此四棱锥的体积为 A 15B 24C 27D 30