全国通用版2019高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数的热点问题课件文.ppt

第4讲导数的热点问题 专题六函数与导数 板块三专题突破核心考点 考情考向分析 利用导数探求函数的极值 最值是函数的基本问题 高考中常与函数零点 方程根及不等式相结合 难度较大 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 用导数证明不等式是导数的应用之一 可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值 以及构造函数解题的能力 热点一利用导数证明不等式 解答 例1 2018 全国 已知函数f x aex lnx 1 1 设x 2是f x 的极值点 求a 并求f x 的单调区间 当02时 f x 0 所以f x 的单调递增区间为 2 单调递减区间为 0 2 证明 当01时 g x 0 所以x 1是g x 的最小值点 故当x 0时 g x g 1 0 用导数证明不等式的方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 则f a f x f b 对 x1 x2 a b 且x1 x2 则f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围D内有最大值M 或最小值m 则对 x D 有f x M 或f x m 3 证明f x g x 可构造函数F x f x g x 证明F x 0 解答 1 求曲线y f x 在点 0 1 处的切线方程 f 0 2 f 0 1 因此曲线y f x 在点 0 1 处的切线方程是2x y 1 0 证明 2 证明 当a 1时 f x e 0 证明当a 1时 f x e x2 x 1 ex 1 e x 令g x x2 x 1 ex 1 则g x 2x 1 ex 1 当x 1时 g x 0 g x 单调递增 所以g x g 1 0 因此f x e 0 热点二利用导数讨论方程根的个数 方程的根 函数的零点 函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念 解决这类问题可以通过函数的单调性 极值与最值 画出函数图象的走势 通过数形结合思想直观求解 解答 1 当k 1时 求函数f x 的单调区间 解函数f x 的定义域为 当k 0时 令f x 0 解得x 0 令f x 0 解得x0 令f x 0 解得lnk x 0 单调递减区间是 lnk 0 解答 2 当k 0时 讨论函数f x 的零点个数 解f 0 1 又f x 在 0 上单调递增 所以函数f x 在 0 上只有一个零点 在区间 0 中 又f x 在 0 上单调递减 故f x 在 0 上也只有一个零点 所以函数f x 在定义域 上有两个零点 当k 0时 f x x 1 ex在单调递增区间 0 内 只有f 1 0 而在区间 0 内 f x 0 即f x 在此区间内无零点 所以函数f x 在定义域 上只有唯一的零点 综上所述 当k 0时 函数f x 有两个零点 当k 0时 f x 只有一个零点 1 函数y f x k的零点问题 可转化为函数y f x 和直线y k的交点问题 2 研究函数y f x 的值域 不仅要看最值 而且要观察随x值的变化y值的变化趋势 跟踪演练2 2018 天津 设函数f x x t1 x t2 x t3 其中t1 t2 t3 R 且t1 t2 t3是公差为d的等差数列 1 若t2 0 d 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 解答 解由已知 可得f x x x 1 x 1 x3 x 故f x 3x2 1 因此f 0 0 f 0 1 又因为曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y f 0 f 0 x 0 故所求切线方程为x y 0 2 若d 3 求f x 的极值 解答 解由已知可得f x x t2 3 x t2 x t2 3 x t2 3 9 x t2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解答 g x 3x2 1 d2 当d2 1时 g x 0 这时g x 在R上单调递增 不合题意 当d2 1时 可得g x 在 x1 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 所以g x 的极大值为 g x 的极小值为 若g x2 0 则由g x 的单调性可知函数y g x 至多有两个零点 不合题意 若g x2 27 也就是 d 从而由g x 的单调性 可知函数y g x 在区间 2 d x1 x1 x2 x2 d 内各有一个零点 符合题意 生活中的实际问题受某些主要变量的制约 解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来 建立目标问题即关于这个变量的函数 然后通过研究这个函数的性质 从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优 热点三利用导数解决生活中的优化问题 解答 例3罗源滨海新城建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为32万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 解设需新建n个桥墩 解答 2 当m 96米时 需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小 令f x 0 得 64 所以x 16 当00 f x 在区间 16 96 内为增函数 所以f x 在x 16处取得最小值 答需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 作答 回归实际问题作答 解答 跟踪演练3图1是某种称为 凹槽 的机械部件的示意图 图2是凹槽的横截面 阴影部分 示意图 其中四边形ABCD是矩形 弧CmD是半圆 凹槽的横截面的周长为4 若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积 设AB 2x BC y 1 写出y关于x的函数表达式 并指出x的取值范围 解易知半圆CmD的半径为x 故半圆CmD的弧长为 x 所以4 2x 2y x 解答 2 求当x取何值时 凹槽的强度最大 8x2 4 3 x3 令T 16x 3 4 3 x2 0 真题押题精练 2017 全国 已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 真题体验 解答 解f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 i 若a 0 则f x 0 则由f x 0 得x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解答 解 i 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 ii 若a 0 由 1 知 当x lna时 即f lna 0 故f x 没有零点 当a 1时 由于f lna 0 故f x 只有一个零点 又f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2 2 0 故f x 在 lna 上有一个零点 因此f x 在 lna 上有一个零点 综上 a的取值范围为 0 1 则f n0 a a 2 n0 n0 n0 0 押题预测 已知f x asinx g x lnx 其中a R y g 1 x 是y g x 的反函数 1 若0 a 1 证明 函数G x f 1 x g x 在区间 0 1 上是增函数 押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义 导数与函数的单调性 导数与不等式等基础知识和基本方法 考查分类整合思想 转化与化归思想等数学思想方法 本题的命制正是根据这个要求进行的 全面考查了考生综合求解问题的能力 证明 押题依据 证明由题意知G x asin 1 x lnx acos 1 x 0 故函数G x 在区间 0 1 上是增函数 证明 证明由 1 知 当a 1时 G x sin 1 x lnx在 0 1 上单调递增 sin 1 x lnx G 1 0 解答 3 设F x g 1 x mx2 2 x 1 b 若对任意的x 0 m0恒成立 求满足条件的最小整数b的值 解由对任意的x 0 m0恒成立 即当x 0 时 F x min 0 又设h x F x ex 2mx 2 h x ex 2m m0 h x 单调递增 又h 0 0 则必然存在x0 0 1 使得h x0 0 F x 在 0 x0 上单调递减 在 x0 上单调递增 b 2x0 2 又m 0 则x0 0 ln2 m x 在 0 ln2 上单调递增 m x 在 0 ln2 上单调递增 m x m ln2 2ln2 b 2ln2 又b为整数 最小整数b的值为2