2019高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修1 -2.ppt

2 2 2反证法 1 反证法 1 反证法是间接证明的一种基本方法 2 一般地 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这种证明方法叫做反证法 名师点拨反证法的实质用反证法证明命题 若p 则q 的过程可以用以下框图表示 肯定条件p 否定结论q 导致逻辑矛盾 p且q为假 若p则q 为真特别提醒反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题 反证法是先否定命题 然后再证明命题的否定是错误的 从而肯定原命题正确 做一做1 用反证法证明命题 已知实数x y满足x3 y3 2 求证 x y 2 时 应作的假设是 解析 命题的结论是x y 2 其否定是x y 2 故应假设 x y 2 答案 x y 2 2 反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与已知条件矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾等 3 反证法的一般步骤用反证法证明命题时 要从否定结论开始 经过正确的推理 导出逻辑矛盾 从而达到新的否定 即肯定原命题 的过程 这个过程包括下面三个步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假设原结论的反面为真 2 归谬 由 反设 作为条件 经过一系列正确的推理 得出矛盾 3 存真 由矛盾结果断定反设错误 从而肯定原结论成立 做一做2 用反证法证明命题 若直线AB CD是异面直线 则直线AC BD也是异面直线 的过程归纳为以下三个步骤 则A B C D四点共面 所以AB CD共面 这与AB CD是异面直线矛盾 所以假设错误 即直线AC BD也是异面直线 假设直线AC BD是共面直线 则正确的序号顺序为 A B C D 解析 结合反证法的证明步骤可知 其正确步骤为 答案 B 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 反证法是间接证明的一种基本方法 2 反证法与 证明逆否命题法 是同一种方法 3 否定性命题 唯一性命题等只能用反证法进行证明 4 反证法证明的第一步是对原命题的结论进行否定 5 反证法的证明过程既可以是合情推理 也可以是一种演绎推理 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用反证法证明否定性命题 思路分析 这是否定性命题 可用反证法证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用反证法证明否定性命题的适用类型所谓否定性命题 就是指所证问题中 含有 不 不是 不相等 不存在 不可能 都不 没有 等否定性词语的命题 这类命题 其结论的反面比较具体 适合采用反证法证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用反证法证明 至少 至多 命题 思路分析 本题为 至少 至多 型问题 反设其结论 容易导出矛盾 故用反证法证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 对于 至少 至多 型问题 直接证明时分类情况较多 证明过程繁琐 而如果运用反证法证明 则分类情况单一 证明过程简单 这体现了 正难则反 的思想方法 2 证明 至少 至多 型问题时 常见的 结论词 与 反设词 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用反证法证明唯一性命题 例3 求证 经过平面 外一点A只能有一条直线和平面 垂直 思路分析 本题为唯一性命题 可用反证法证明 即假设经过点A有两条直线都与平面 垂直 然后根据空间以及平面中的有关定理推出矛盾 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证明 如图 点A在平面 外 假设经过点A至少有平面 的两条垂线AB AC B C为垂足 那么AB AC是两条相交直线 它们确定一个平面 平面 和平面 相交于直线BC 因为AB 平面 AC 平面 且BC 所以AB BC AC BC 在平面 内经过点A有两条直线都和BC垂直 这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾 因此假设错误 即经过平面外一点A只能有一条直线和平面 垂直 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用反证法证明唯一性命题的注意点 1 当所证命题的结论是以 有且只有 只有一个 唯一一个 存在唯一 等形式出现时 反设其结论易于导出矛盾 因此可用反证法证明该类命题 2 用反证法证明唯一性命题时 如果其结论的反面呈现多样性 必须罗列出所有可能的各种情况 缺少任何一种情况时 反证都是不完全的 3 证明 有且只有 等形式的问题时 需要证明两个方面 即证明存在性和唯一性 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知函数f x 在区间 m n 上的图象是一条连续不断的曲线 且f x 在 m n 上单调递减 若f m f n x1 则有f x0 f x1 即0 0 矛盾 故假设错误 即方程f x 0在 m n 上的根是唯一的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反证法证明过程中未用反设致误 典例 已知实数k满足2k2 3k 1 0 运用反证法证明 关于x的方程x2 2x 5 k2 0没有实数根 错解分析 本题常见错解是虽然对命题的结论进行了反设 但后面的证明过程中 没有将这一 反设 作为条件进行推理 因此没有推出矛盾 故这种证明过程不是利用反证法进行的 是错误的 证明 假设方程x2 2x 5 k2 0有实数根 则其判别式 4 4 5 k2 4k2 16 0 解得k 2或k 2 又因为实数k满足2k2 3k 1 0 所以 1 k k 2或k 2 与 1 k 矛盾 故假设错误 即关于x的方程x2 2x 5 k2 0没有实数根 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得在反证法的证明过程中 必须首先对结论进行否定 然后在后面的推理过程中真正用上这一 反设 才是真正利用反证法证明问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 跟踪训练已知直线a b相交 求证 直线a与b有且只有一个交点 证明 假设结论不成立 则有两种情况 直线a与b没有交点 直线a与b有不止一个交点 1 假设直线a与b没有交点 则a b或a b是异面直线 这与已知矛盾 2 假设直线a与b有不止一个交点 则至少有两个交点 设为P P 这样经过点P P 就有两条直线a b 这与两点确定一条直线矛盾 由 1 和 2 可知假设不成立 所以直线a与b有且只有一个交点 1 用反证法证明一个命题时 下列说法正确的是 A 将结论与条件同时否定 推出矛盾B 肯定条件 否定结论 推出矛盾C 将否定的结论作为条件 原题中的条件不能用D 肯定结论 否定条件 推出矛盾解析 反证法中只能将结论否定 条件不能否定 答案 B2 用反证法证明命题 已知m n N 若mn能被3整除 则m n中至少有一个能被3整除 时 假设的内容是 A m n都能被3整除B m n都不能被3整除C m n不都能被3整除D m n中有一个能被3整除解析 结论 m n中至少有一个能被3整除 的否定是 m n都不能被3整除 故应假设m n都不能被3整除 答案 B 3 若实数x y z满足x y z 9 则x y z中至少有一个大于 解析 假设x y z都不大于3 即x 3 y 3 z 3 则x y z 9 这与x y z 9相矛盾 故x y z中至少有一个大于3 答案 34 命题 关于x的方程ax b 0 a 0 的解是唯一的 的结论的否定是 答案 无解或至少有两个解 证明 假设a b c都小于1 即a 1 b 1 c 1 则a b c 3 这与a b c 3矛盾 因此假设错误 即a b c中至少有一个不小于1