2019版高考数学二轮复习 专题五 立体几何 2.5.3.1 空间中的平行与几何体的体积课件 文.ppt

5 3立体几何大题 2 3 4 5 6 7 1 证明线线平行和线线垂直的常用方法 1 证明线线平行常用的方法 利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 利用平行四边形进行平行转换 利用三角形的中位线定理证线线平行 利用线面平行 面面平行的性质定理进行平行转换 2 证明线线垂直常用的方法 利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质 勾股定理 线面垂直的性质 即要证两直线垂直 只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可 即l a l a 2 垂直 平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 1 证明线面 面面平行 需转化为证明线线平行 2 证明线面垂直 需转化为证明线线垂直 3 证明线线垂直 需转化为证明线面垂直 4 证明面面垂直 需转化为证明线面垂直 进而转化为证明线线垂直 8 3 求几何体的表面积或体积 1 对于规则几何体 可直接利用公式计算 对于某些三棱锥 有时可采用等体积转换法求解 2 对于不规则几何体 可采用割补法求解 3 求解旋转体的表面积和体积时 注意圆柱的轴截面是矩形 圆锥的轴截面是等腰三角形 圆台的轴截面是等腰梯形的应用 4 解决平面图形的翻折问题 关键是抓住平面图形翻折前后的不变性 即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度 角度等的不变性 5 3 1空间中的平行与几何体的体积 10 考向一 考向二 平行关系的证明及求体积例1 2018湖南衡阳一模 文18 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PA 底面ABCD PA AB E F G分别是PA PB BC的中点 1 证明 平面EFG 平面PCD 2 若平面EFG截四棱锥P ABCD所得截面的面积为 求四棱锥P ABCD的体积 11 考向一 考向二 1 证明因为E F分别为PA PB的中点 所以EF AB 又AB CD 所以EF CD F G分别为PB BC的中点 FG PC PC CD C EF FG F 平面EFG 平面PCD 2 解设H为AD的中点 连接GH EH 则GH EF 则平面EFG截四棱锥P ABCD的截面为梯形EFGH PA 面ABCD 又DC 平面ABCD PA DC 且DC AD DC 平面PAD 12 考向一 考向二 又EH 平面PAD CD EH GH CD GH EH 梯形EFGH为直角梯形 不妨设PA AB a 13 考向一 考向二 解题心得 1 证明面面平行首先考虑面面平行的判定定理 即证两条相交的直线与一个平面平行 或证一个平面的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线平行 2 求几何体的体积首先考虑几何体的底面面积和几何体的高 如果都易求 直接代入体积公式即可 14 考向一 考向二 15 考向一 考向二 1 证明在平面ABCD内 因为 BAD ABC 90 所以BC AD 又BC 平面PAD AD 平面PAD 故BC 平面PAD 2 解取AD的中点M 连接PM CM 由AB BC AD及BC AD ABC 90 得四边形ABCM为正方形 则CM AD 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以PM AD PM 底面ABCD 因为CM 底面ABCD 所以PM CM 设BC x 则CM x CD x PM x PC PD 2x 取CD的中点N 连接PN 则PN CD 16 考向一 考向二 例2 2018山东潍坊三模 文18 如图所示 五面体ABCDEF 四边形ACFD是等腰梯形 AD FC DAC BC 面ACFD CA CB CF 1 AD 2CF 点G为AC的中点 1 在AD上是否存在一点H 使GH 平面BCD 若存在 指出点H的位置并给出证明 若不存在 说明理由 2 求三棱锥G ECD的体积 17 考向一 考向二 解 1 存在点H H为AD中点 证明如下 连接GH 在 ACD中 由三角形中位线定理可知GH CD 又GH 平面BCD CD 平面BCD GH 平面BCD 18 考向一 考向二 2 由题意知AD CF AD 平面ADEB CF 平面ADEB CF 平面ADEB 又CF 平面CFEB 平面CFEB 平面ADEB BE CF BE VG ECD VE GCD VB GCD 19 考向一 考向二 解题心得 1 证明平行关系 常常利用转化法 若证明线面平行或面面平行可以转化为证明线线平行 若证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行 若题目中已出现了中点 可考虑在图形中再取中点 构造中位线进行证明 2 求几何体的体积也常用转化法 转化有两个方面 一是几何体高的转化 另一方面是几何体底面的转化 如本例中求几何体的体积VG ECD VE GCD VB GCD 转化的目的是为了几何体的高和底面积易求 20 考向一 考向二 对点训练2如图 正方形ABCD的边长等于2 平面ABCD 平面ABEF AF BE BE 2AF 2 EF 1 求证 AC 平面DEF 2 求三棱锥C DEF的体积 21 考向一 考向二 1 证明连接BD 记AC BD O 取DE的中点G 连接OG FG 点O G分别是BD和ED的中点 四边形AOGF是平行四边形 AO FG 即AC FG 又AC 平面DEF FG 平面DEF AC 平面DEF 22 考向一 考向二 2 解在四边形ABEF中 过F作FH AB交BE于点H 由已知条件知 在梯形ABEF中 AB FH 2 EF EH 1 则FH2 EF2 EH2 即FE EB 从而FE AF AC 平面DEF 点C与点A到平面DEF的距离相等 VC DEF VA DEF DA AB 且平面ABCD 平面ABEF DA 平面ABEF 23 考向一 考向二 求点到面的距离例3 2018山西吕梁一模 文19 在如图所示的多面体ABCDE中 已知AB DE AB AD ACD是正三角形 AD DE 2AB 2 BC F是CD的中点 1 求证 AF 平面BCE 2 求证 平面BCE 平面CDE 3 求D到平面BCE的距离 24 考向一 考向二 1 证明取CE的中点M 连接BM MF F为CD的中点 MF AB 四边形ABMF为平行四边形 MB AF BM 平面BCE AF 平面BCE AF 平面BCE 2 证明因为 ACD是正三角形 所以AC AD CD 2 在 ABC中 AB 1 AC 2 BC 所以AB2 AC2 BC2 故AB AC DE AC 又DE AD AC AD A DE 平面ACD DE AF 又AF CD 由 1 得BM AF DE BM BM CD DE CD D BM 平面CDE BM 平面BCE 平面BCE 平面CDE 25 考向一 考向二 3 解连接DM 由于DE DC DM CE 由 2 知 平面BCE 平面CDE DM 平面BCE 所以DM为D到平面BCE的距离 DM 所以D到平面BCE的距离为 26 考向一 考向二 解题心得求几何体的高或点到平面的距离 经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或要求的距离 其步骤为一作 二证 三求 如何作出点到平面的距离是关键 一般的方法是利用辅助面法 所作的辅助面一是要经过该点 二是要与所求点到平面的距离的平面垂直 这样在辅助面内过该点作交线的垂线 点到垂足的距离即为点到平面的距离 27 考向一 考向二 对点训练3如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 1 证明 PB 平面AEC 28 考向一 考向二 1 证明设BD与AC的交点为O 连接EO 因为ABCD为矩形 所以O为BD的中点 又E为PD的中点 所以EO PB EO 平面AEC PB 平面AEC 所以PB 平面AEC 29 考向一 考向二 例4 2018全国百强校最后一卷 文18 在四棱锥P ABCD中 AB CD CD 2AB AC与BD相交于点M 点N在线段AP上 AN AP 0 且MN 平面PCD 1 求实数 的值 2 若AB AD DP 1 PA PB BAD 60 求点N到平面PCD的距离 30 考向一 考向二 31 考向一 考向二 32 考向一 考向二 解法二 AB AD BAD 60 ABD为等边三角形 BD AD 1 PD 1 PA PB PB2 PD2 BD2且PA2 PD2 AD2 所以PD BD且PD DA 因为DA DB D 所以PD 平面ABCD 因为PD 平面PCD 平面PCD 平面ABCD 作ME CD于E 因为平面PCD 平面ABCD CD ME 平面PCD MN 平面PCD ME即为N到平面PCD的距离 33 考向一 考向二 解题心得求点到平面距离时 常常把点到平面的距离转化为棱锥的高 利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置 其体积相等的方法求解 点到平面距离也可直接根据点到平面距离的定义求 34 考向一 考向二 对点训练4如图 在四棱锥P ABCD中 侧面PAD是边长为2的正三角形 且与底面垂直 底面ABCD是菱形 且 ABC 60 M为PC的中点 1 求证 PC AD 2 求点D到平面PAM的距离 35 考向一 考向二 1 证明取AD的中点O 连接OP OC AC 如图 依题意可知 PAD ACD均为正三角形 所以OC AD OP AD 又OC OP O OC 平面POC OP 平面POC 所以AD 平面POC 又PC 平面POC 所以PC AD 36 考向一 考向二 2 解点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离 由 1 可知PO AD 又平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD PO 平面PAD 所以PO 平面ABCD 即PO为三棱锥P ACD的高