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2019年小学数学奥数基础教程(四年级)(I)本教程共30讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求这10名同学的总分。分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。于是得到总和=8010（6-2-3311-8009809。实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上8010，就可口算出结果为809。例1所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。由例1得到：总和数=基准数加数的个数+累计差，平均数=基准数+累计差加数的个数。在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。例2 某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每块麦田的产量。解：选基准数为450，则累计差=123073023211811251150，平均每块产量=4505010455（千克）。答：平均每块麦田的产量为455千克。求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7749（七七四十九）。对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了1020的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法凑整补零法。所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法。例3 求292和822的值。解：292=2929（291）（29-1）1230281840+1841。8228282（822）（822）22808446720+46724。由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。由凑整补零法计算352，得3535403052=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。例4 求9932和2的值。解：9932=993993（9937）（993-7）+7210009864998600049986049。2=（-4）（+4）42164016000164016016。下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。请看下面的算式：6646，7388，1944。这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。例5 8864？分析与解：由乘法分配律和结合律，得到8864（808）（604）（808）60（808）480608608048480608068048480（6064）8480（6010）848（61）100+84。于是，我们得到下面的速算式：由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为84；积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8（61）。例6 7791？解：由例3的解法得到由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7107。用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。练习11.求下面10个数的总和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求这批麦苗的平均高度。3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他们共加工了多少个零件？4.计算：131610+1117121512161312。5.计算下列各题：（1）372； （2）532； （3）912；（4）682： （5）1082； （6）3972。6.计算下列各题：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。答案与提示练习1.1596。 2.26厘米。3.711个。 4.147。5.（1）1369； （2）2809； （3）8281；（4）4624； （5）11664； （6）157609。6.（1）2156； （2）3630； （3）627；（4）3608； （5）1221； （6）4554。附送：2019年小学数学奥数基础教程(四年级)本教程共30讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数2。例1 123？分析与解：这串加数1，2，3，是等差数列，首项是1，末项是，共有个数。由等差数列求和公式可得原式=（1）2000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2 11121331？分析与解：这串加数11，12，13，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11121（项）。原式=（11+31）212=441。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1，末项=首项+公差（项数-1）。例3 371199？分析与解：3，7，11，99是公差为4的等差数列，项数=（993）4125，原式=（399）2521275。例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项=253（40-1）142，和=（25142）4023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（1）最大三角形面积为（13515）12（115）8212768（厘米2）。（2）火柴棍的数目为369+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21222102（1210）255110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）。综合列式为：（3-1）（1210）32（110）1023113（只）。练习31.计算下列各题：（1）246200；（2）17192139；（3）58111450；（4）3101724101。2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？答案与提示练习1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。2.1127。 提示：项数=（93-5）4+1=23。3.2565。 提示：末项=13+5（30-1）=158。4.180次。 解：（1+2+12）2+24=180（次）。5.1650。 解：2+5+8+98=1650。6.45个。提示：十位数为1，2，9的分别有1，2，9个。