2019年高考数学总复习 2.4.3 导数与函数的零点及参数范围课件 理.ppt

2 4 3导数与函数的零点及参数范围 考向一 考向二 考向三 判断 证明或讨论函数零点个数解题策略一应用单调性 零点存在性定理 数形结合判断例1设函数f x e2x alnx 1 讨论f x 的导函数f x 零点的个数 难点突破 1 讨论f x 零点的个数要依据f x 的单调性 应用零点存在性定理进行判断 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 2 证明 由 1 可设f x 在 0 的唯一零点为x0 当x 0 x0 时 f x 0 故f x 在 0 x0 单调递减 在 x0 单调递增 所以当x x0时 f x 取得最小值 最小值为f x0 解题心得研究函数零点或方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况 考向一 考向二 考向三 对点训练1已知函数f x x2 3x 3 ex 1 试确定t的取值范围 使得函数f x 在 2 t t 2 上为单调函数 解 1 f x x2 3x 3 ex 2x 3 ex x x 1 ex 由f x 0 得x 1或x 0 由f x 0 得0 x 1 所以f x 在 0 和 1 内单调递增 在 0 1 内单调递减 若使f x 在 2 t 上为单调函数 则需 2 t 0 即t的取值范围为 2 0 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解题策略二分类讨论法例2已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 难点突破 1 设切点 x0 0 依题意f x0 0 f x0 0 得关于a x0的方程组解之 2 为确定出h x 对自变量x 0分类讨论 确定出h x 后对参数a分类讨论h x 零点的个数 h x 零点的个数的确定要依据h x 的单调性和零点存在性定理 考向一 考向二 考向三 解 1 设曲线y f x 与x轴相切于点 x0 0 则f x0 0 f x0 0 2 当x 1 时 g x lnx 0 从而h x min f x g x g x 0 故h x 在 1 无零点 当x 0 1 时 g x lnx 0 所以只需考虑f x 在 0 1 的零点个数 考向一 考向二 考向三 若a 3或a 0 则f x 3x2 a在 0 1 无零点 故f x 在 0 1 单调 考向一 考向二 考向三 解题心得1 如果函数中没有参数 一阶导数求出函数的极值点 判断极值点大于0小于0的情况 进而判断函数零点的个数 2 如果函数中含有参数 往往一阶导数的正负不好判断 这时先对参数进行分类 再判断导数的符号 如果分类也不好判断 那么需要对一阶导函数进行求导 在判断二阶导数的正负时 也可能需要分类 考向一 考向二 考向三 1 当a 1时 求函数f x 的最小值 2 当a 1时 讨论函数f x 的零点个数 解 1 函数f x 的定义域为 x x 0 考向一 考向二 考向三 当a 0时 若x 0 1 则f x 0 f x 为增函数 由于x 0 从右侧趋近0 时 f x x 时 f x 所以f x 有两个零点 考向一 考向二 考向三 当00 f x 为增函数 x a 1 时 f x 0 f x 为增函数 所以f x 在x a处取极大值 f x 在x 1处取极小值 当0 a 1时 f a 0 即在x 0 1 时 f x 0 而f x 在x 1 时为增函数 且x 时 f x 所以此时f x 有一个零点 所以f x 为增函数 且x 0 从右侧趋近于0 时 f x x 时 f x 所以f x 有一个零点 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 已知零点个数求参数范围解题策略一最小值法 1 讨论f x 的增减性 2 若g x f x mx在 1 上没有零点 求实数m的取值范围 难点突破g x 在 1 上没有零点 g x 0在 1 上恒成立 分离出参数m h x m h x max 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解题心得在已知函数y f x 有几个零点求f x 中参数t的值或范围问题 经常从f x 中分离出参数t g x 然后用求导的方法求出g x 的最值 再根据题意求出参数t的值或范围 考向一 考向二 考向三 对点训练3已知函数f x 2lnx x2 ax a R 1 当a 2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 2 若函数g x f x ax m在上有两个零点 求实数m的取值范围 切线的斜率k f 1 2 则切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 当1 x e时 g x 0 故g x 在x 1处取得极大值g 1 m 1 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解题策略二分类讨论法例4已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 难点突破 2 由 1 得a 0及a 0时f x 的单调性 依据f x 的单调性研究其零点 由a 0 f x 在 单调递减 f x 至多有一个零点 由a 0时f x 的单调性 易求f x 的最小值 当f x min 0才会有两个零点 考向一 考向二 考向三 解 1 f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 若a 0 则f x 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 2 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 若a 0 由 1 知 当x lna时 f x 取得最小值 即f lna 0 故f x 没有零点 考向一 考向二 考向三 又f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2 2 0 故f x 在 lna 有一个零点 综上 a的取值范围为 0 1 解题心得在已知函数零点个数的情况下 求参数的范围问题 通常采用分类讨论法 依据题目中的函数解析式的构成 将参数分类 在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意 将满足题意的参数的各个小范围并在一起 即为所求参数范围 考向一 考向二 考向三 对点训练4 2018全国 理21 已知函数f x ex ax2 1 若a 1 证明 当x 0时 f x 1 2 若f x 在 0 只有一个零点 求a 解 1 当a 1时 f x 1等价于 x2 1 e x 1 0 设函数g x x2 1 e x 1 则g x x2 2x 1 e x x 1 2e x 当x 1时 g x 0 所以g x 在 0 单调递减 而g 0 0 故当x 0时 g x 0 即f x 1 考向一 考向二 考向三 2 设函数h x 1 ax2e x f x 在 0 只有一个零点当且仅当h x 在 0 只有一个零点 i 当a 0时 h x 0 h x 没有零点 ii 当a 0时 h x ax x 2 e x 当x 0 2 时 h x 0 所以h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 考向一 考向二 考向三 故h x 在 2 4a 有一个零点 因此h x 在 0 有两个零点 考向一 考向二 考向三 与函数零点有关的证明问题解题策略等价转换后构造函数证明例5设函数f x x2 alnx g x a 2 x 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数F x f x g x 有两个零点x1 x2 求满足条件的最小正整数a的值 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 当a 0时 f x 0在 0 上恒成立 所以f x 单调递增区间为 0 此时f x 无单调减区间 考向一 考向二 考向三 所以存在a0 2 3 h a0 0 当a a0时 h a 0 所以满足条件的最小正整数a 3 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 解题心得证明与零点有关的不等式 函数的零点本身就是一个条件 即零点对应的函数值为0 证明的思路一般对条件等价转化 构造合适的新函数 利用导数知识探讨该函数的性质 如单调性 极值情况等 再结合函数图象来解决 因为t 0 所以m t 0 当且仅当t 1时 m t 0 所以m t 在 0 上是增函数 又m 1 0 所以当t 0 1 m t 0总成立 所以原题得证 考向一 考向二 考向三 对点训练5已知函数f x x 2 ex a x 1 2有两个零点 1 求a的取值范围 2 设x1 x2是f x 的两个零点 证明 x1 x2 2 1 解 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 若a 0 则f x x 2 ex f x 只有一个零点 若a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 内单调递减 在 1 内单调递增 考向一 考向二 考向三 若a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 故当x 1 时 f x 0 因此f x 在 1 内单调递增 又当x 1时 f x 0 所以f x 不存在两个零点 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 因此f x 在 1 ln 2a 内单调递减 在 ln 2a 内单调递增 又当x 1时f x 0 所以f x 不存在两个零点 综上 a的取值范围为 0 考向一 考向二 考向三 2 证明 不妨设x1f 2 x2 即f 2 x2 1时 g x 1时 g x 0 从而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2